2022　尾道市立大学　前期MathJax

【１】　箱の中に赤球が$8$個，青球が$3$個，黄球が$4$個，計$15$個の球が入っている．この箱の中から同時に$3$個の球を無作為に取り出すとき，次の問いに答えなさい．

(1)　すべて赤球が取り出される確率を求めなさい．

(2)　赤球，青球，黄球がそれぞれ$1$個ずつ取り出される確率を求めなさい．

(3)　すべて同じ色の球が取り出される確率を求めなさい．

(4)　黄球が少なくとも$1$個含まれる確率を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[A]　三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{3}{2}}$である．また，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{D}$に対して$\mathrm{AD}=\mathrm{DC}$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．

(2)　$\sin \mathrm{\angle ABC}$の値を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[B]　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は整数の定数であり，$a$と$d$は$0$でないとする．$3$次方程式

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

が有理数解$x={\displaystyle \frac{q}{p}}$$\text{（}p$と$q$は互いに素な整数）をもつとき，次の＜命題１＞，＜命題２＞が知られている．

＜命題１＞　$p$は$a$の約数である

＜命題２＞　$q$は$d$の約数である

このとき，次の問いに答えなさい．ただし，約数は整数の範囲で考えるものとする．

(1)　上記の＜命題１＞を証明しなさい．

(2)　$7=ap$を満たす整数の組$(a,p)$をすべて書きなさい．

(3)　$3$次方程式$7x^3-11x^2-13x-3=0$は有理数解をもっている．この$3$次方程式に＜命題１＞，＜命題２＞を適用して得られる$p\text{，}$$q$を用いて，${\displaystyle \frac{q}{p}}$を計算してその値をすべて書きなさい．

(4)　$3$次方程式$7x^3-11x^2-13x-3=0$を解きなさい．