2022　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　$a$を$0$でない実数の定数とする．$x$についての連立不等式$\{\begin{array}{l}2x+1\geqq 2\\ ax>-3\end{array}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$a=2$のとき，解を求めなさい．

(2)　$a=-1$のとき，解に含まれる自然数の個数を求めなさい．

(3)　解に$x=1$が含まれるような$a$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(4)　解に含まれる自然数がちょうど$10$個になるような$a$の取りうる値の範囲を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[A]　半径$r$の$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$が外接している．また，円$C_3$は同じ点で，円$C_1$と外接し円$C_2$と内接している．また，$3$つの円$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$の中心をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とすると，円$C_2$は点$\mathrm{C}$を通る．さらに，円$C_1$と円$C_3$はそれらの共通接線$l$とそれぞれ異なる$2$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$で接するとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　円$C_3$で囲まれる領域から円$C_2$の内部を除いた領域の面積$S$は，円$C_1$で囲まれる領域の面積$T$の何倍であるか．

(2)　四角形$\mathrm{ADEC}$の面積が$3$となるような$r$の値を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[B]　自然数$N$は，$p\text{，}$$q$$\text{（}p<q\text{）}$のみを素因数にもち，$N$の正の約数の個数は$21$であるという．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$N=p^m{q}^n$を満たすような自然数の組$(m,n)$をすべて求めなさい．

(2)　$N$の正の約数の総和を$S$とする．$3000\leqq S\leqq 4000$を満たすような$N$をすべて求めなさい．

【３】　$a>0$とし，放物線$C\text{：}y=x^2$上に点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$をとる．点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l\text{，}$点$\mathrm{A}$を通り$l$に垂直な直線を$m$とし，さらに$C$と$m$との交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる方の点を$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$2$直線$l\text{，}$$m$の方程式をそれぞれ$a$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表しなさい．

(3)　放物線$C$と直線$m$で囲まれる図形の面積$S(a)$を$a$を用いて表しなさい．ただし，必要なら定積分に関する公式

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

は証明なしに用いてよい．

(4)　$S(a)$の最小値を求め，それを与える$a$の値を求めなさい．