2022　県立広島大学　前期総合問題B(ア)MathJax

【１】　$3$点$\mathrm{A}$$(2,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-3)$および$\mathrm{C}$$(6,0)$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$を座標平面上に図示せよ．

(2)　内心の座標を求めよ．

(3)　外心の座標を求めよ．

(4)　重心の座標を求めよ．

(5)　内接円の半径を求めよ．

(6)　外接円の半径を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}$$(0,0,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,4,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,1,1)$がある．また，線分$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に垂直なベクトルは，点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{BC}$上のどこにあっても$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と垂直であることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{OP}$上に点$\mathrm{Q}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たすとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|$を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

　$\mathrm{A}$さんは住宅ローンを利用して，家を購入しようとしている．住宅ローンの返済方法としては$2$つの返済方式から$1$つを選ぶことができる．

方式Ⅰ：元金均等返済方式と呼ばれるもので，毎月の元金の返済額が同じ金額になるようにする返済方式である．（図１を参照）

方式Ⅱ：元利均等返済方式と呼ばれるもので，毎月のローン返済額が同じ金額になるようにする返済方式である．（図２を参照）

なお，用語についての説明は，以下のとおりである．

元金：貸し借りした実際の金額，利息（利子）を含まない元の金額のこと

借入残高：その時点でまだ返済していない借入金額

利息（利子）：貸し手が借り手から受け取る利用料のこと

（借入残高に利率をかけて計算される）

元利：元金と利息（利子）のこと

ローン返済額：元金の返済額と利息（利子）の額の合計額のこと

住宅ローンの借入額を$a$万円，月利（月単位の利率）を$r\text{，}$返済回数を$n$回（ひと月に$1$回返済）とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　方式Ⅰについて，第$i$回$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$のローン返済額を算出する式を求めよ．

(2)　方式Ⅰについて，第$i$回$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$までのローン返済額の合計を算出する式を求めよ．

(3)　方式Ⅰについて，借入額を$1000$万円，月利を$0.002\text{，}$返済回数を$360$回としたときの，初回のローン返済額，初年度の年間返済額，総返済額をそれぞれ求めよ．ただし，$1$円未満は切り捨てて答えよ．なお，切り捨てたことにより生じる誤差は無視して良いこととする．

(4)　方式Ⅱについて，毎月のローン返済額は次の式で算出することができる．

${\displaystyle \frac{ar{(1+r)}^n}{{(1+r)}^n-1}}$

借入額を$1000$万円，月利を$0.002\text{，}$返済回数を$360$回としたときの，毎月のローン返済額，初年度の年間返済額，総返済額をそれぞれ求めよ．ただし，${(1.002)}^{360}=2.053$として計算し$1$円未満は切り捨てて答えよ．なお，切り捨てたことにより生じる誤差は無視して良いこととする．

(5)　(3)および(4)の結果を踏まえて，方式Ⅰと方式Ⅱのメリットおよびデメリットについて説明せよ．

(6)　あなたならどちらの方式を選ぶか，理由をつけて答えよ．

【４】　次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

　$\stackrel{\text{てんびん}}{\text{天秤}}$ばかりは支点の両側に皿が取り付けられており，両側の皿にのせたものの質量が等しいときに釣り合うように作られている．重さが初項$1\text{，}$公比$r$の等比数列である分銅が入った分銅セット$W_r$がある．ただし，同じ重さの分銅は$1$つしかないものとする．例えば，分銅セット$W_2$には，重さが$1\mathrm{g}\text{，}$$2\mathrm{g}\text{，}$$4\mathrm{g}\text{，}\cdots$の分銅が$1$個ずつ入っている．天秤ばかりの片方の皿に，ある重さの物体を置いたとき，天秤ばかりが釣り合うような分銅の置き方を考える．

(1)　$10$進数の$10$を$2$進法で表せ．

(2)　重さ$10\mathrm{g}$の物体$\mathrm{A}$に対して，分銅セット$W_2$を用いて最も少ない個数で釣り合わせるのに必要な分銅の組合せを答えよ．

(3)　重さ$2022\mathrm{g}$の物体$\mathrm{B}$に対して，分銅セット$W_3$を用いて最も少ない個数で釣り合わせる方法を説明せよ．ただし，分銅はどちらの皿にのせても良いものとする．