2022　県立広島大学　後期総合問題B（ア)MathJax

【１】　第$59$項が$70$で，第$66$項が$84$である等差数列がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　この数列の初項と公差をそれぞれ求めよ．

(2)　$101$はこの数列の項となり得るか，答えよ．

(3)　初項から第何項までの和が最小となるか，答えよ．

【２】　関数$f(\theta )=2\sin \theta \cos \theta -\sin \theta -\cos \theta -1$がある．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x=\sin \theta +\cos \theta$とし，$f(\theta )$を$x$を用いて表せ．

(2)　$f(\theta )=0$を満たす$\theta$をすべて求めよ．

(3)　$f(\theta )$の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

　$0$と$1$の記号列を以下のルールによって符号化することを考える．

•記号列を左から順に調べていき，連続して出現する$0$の個数を$1$が出現するまで，または$0$の個数が$3$に達するまで数え，その個数を$2$桁の$2$進数に置き換えることを繰り返す．

・具体的には，$1\to 00\text{，}$$01\to 01\text{，}$$001\to 10\text{，}$$000\to 11$と変換することにより符号化が行われる．

　例えば，記号列$0110000010001$は$010011101100$に符号化される．

(1)　記号列$00000001010001000001$を符号化せよ．

(2)　符号化された記号列$1010011011001001$を元の記号列に復元せよ．

(3)　この符号化ルールの利点を述べよ．

(4)　この符号化ルールの欠点を述べよ．

【４】　次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

　$1$年$365$日といいますが，$4$年毎に$366$日となる年$\text{（}2$月$29$日のある年）があります．この年を「$\stackrel{\text{うるう}}{\text{閏}}$年」といいます$\text{（}365$日の年は「平年」）．なぜこのようなことが起こるのでしょうか．この原因は，$1$年の長さ（地球が太陽の周囲を一周する時間）が$1$日の長さ（地球が太陽を基準にして，$1$回転自転する時間）で割り切れないことにあります．では，$1$年の本当の長さは何日なのでしょうか．

$1\text{年(太陽年)}=365.2422\text{日(太陽日)}$

　$1$年の長さが，$365$日よりちょっと$\text{（}\text{((ア)}$時間）長いようです．ですから，もし全ての年を$365$日とすると，約$4.1$年で$1$日，$100$年で$24.22$日分，暦が実際の季節より先行することになります．この様に，暦と実際の季節がかけ離れてしまうことを防ぐために，閏年を設けて調整しているのです．現在，用いられている太陽暦（グレゴリオ暦）では，閏年を次のように決めています．

$\text{①}$　西暦年が，$4$で割り切れる年は，閏年とする

$\text{②}$　$\text{①}$であっても，$100$で割り切れる年は平年とする

$\text{③}$　$\text{②}$であっても，$400$で割り切れる年は閏年とする

　グレゴリオ暦に従って閏年を設けると，$400$年間に$\text{(イ)}$回の閏年が入ります．グレゴリオ暦での$400$年間の日数と$400$太陽年の長さを比較すると，$400$年の長さは，グレゴリオ暦が$\text{(ウ)}$日，太陽年が$146096.88$日になります．ご覧のように，$400$年で$\text{(エ)}$日$\text{（}\text{(オ)}$時間）の差が生ずるだけです．

出典：『天文と暦のFAQ現行の暦法』（一部改変），海上保安庁海洋情報部，

https://www1.kaiho.mlit.go.jp/KOHO/faq/reki/shinreki.html

(1)　文中の(ア)から(オ)にあてはまる値を求めよ．

(2)　$2022$年は閏年か，また，次の閏年は何年になるか求めよ．

(3)　$2100$年$3$月$12$日は何曜日になるか求めよ．

(4)　正確な暦の必要性についてあなたの考えを述べよ．