2022　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　$3$進数${12010}_{(3)}$を$4$進法で表せ．

【１】

問２　不等式$x<-\sqrt{x+6}$を解け．

【１】

問３　次の定積分，不定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_2^3}{\displaystyle \frac{x-2}{x^2-x}}\mathit{dx}$

【１】

問３　次の定積分，不定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle \int }2x^3{e}^{x^2}\mathit{dx}$

【１】

問４　$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=1$かつ$\alpha +\beta =1$を満たす複素数$\alpha \text{，}$$\beta$について，${\alpha }^2+{\beta }^2$の値を求めよ．

【２】

問１　四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{OC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\mathrm{\angle COA}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

【２】

問２　$x>0\text{，}$$y>0\text{，}$$z>0$のとき，次の不等式を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

(1)　$(x+9y)({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}})\leqq 16$

(2)　$x+y+z\geqq \sqrt{3(xy+yz+zx)}$

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{{(7+2\cos x)}^2}}$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

問１　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

問２　関数$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

問３　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】「$\stackrel{\text{じんごう}}{\text{塵劫}}$記」という江戸時代の和算の書物に，「ねずみ算」についての記述がある．ここでは，塵劫記から数値を変えた次のようなねずみ算を考える．

(＊)　はじめに，ネズミのつがいが$1$組いる．つがいは$1$ヶ月後に$6$匹の子を産む．産まれる子は$\stackrel{\text{し}}{\text{雌}}$$\stackrel{\text{ゆう}}{\text{雄}}$同数とし，親のネズミと合わせた計$4$組のつがいが，さらに$1$ヶ月後にそれぞれ$6$匹の子を産む．このようにして，$1$ヶ月経過するごとにどの世代のネズミのつがいもそれぞれ6匹ずつ雌雄同数の子を産む．ただし，ネズミが死亡することはないとする．

　はじめから$n$ヶ月後のネズミの総数を$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$をそれぞれ求めよ．

問２　$a_{n+1}-a_n$を$a_n$を用いて表せ．ただし，$n$は正の整数とする．

問３　ネズミの総数が$\mathrm{2,000,000}$以上となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

　次に，(＊)とは別のねずみ算を考える．はじめにつがいが$5$組いて，それぞれのつがいが$1$ヶ月後に$4$匹ずつ子を産む．産まれる子は雌雄同数とする．その後も$1$ヶ月経過するごとに，どの世代のネズミのつがいもそれぞれ$4$匹ずつ雌雄同数の子を産む．はじめから$n$ヶ月後のネズミの総数を$b_n$とする．

問４　一般項$b_n$を求めよ．

問５　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}}$を求めよ．