2022　広島市立大学　後期MathJax

【１】

問１　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$が$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=2\text{，}$$3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$を満たすとき，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．

【１】

問２　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-1}^8}\sqrt[3]{\left|x\right|}\mathit{dx}$

【１】

問２　次の定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}}\mathit{dx}$

【１】

問３　次の無限級数が収束するような$x$の値の範囲を求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{(2x^2+3x-1)}^n$

【２】

問１　数列$\{a_n\}$を$a_n=3^n+7^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$によって定める．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$の値を求めよ．

(2)　すべての正の整数$n$について，$a_n$は偶数であることを証明せよ．

(3)　$n$が奇数であるとき，$a_n$は$10$で割り切れることを証明せよ．

【２】

問２　極方程式$r={\displaystyle \frac{3}{2-\cos \theta }}$により表される曲線$C$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$を直交座標の$x\text{，}$$y$の方程式で表せ．

(2)　(1)で求めた方程式は，放物線，楕円，双曲線のいずれを表すか．また，その焦点の座標を求めよ．

【３】　ある機械に$1$つのボタンと$3$つの電球$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がついている．ボタンを$1$回押すたびに，消えている電球は${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で点灯し，点灯している電球は${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で消える．ただし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$はそれぞれ独立に点灯したり消えたりする．最初は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が点灯しており，$\mathrm{C}$が消えているとして，次の問いに答えよ．

問１　ボタンを$1$回押したあとで，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が点灯し$\mathrm{A}$が消えている確率を求めよ．

問２　$n$を正の整数とし，ボタンを$n$回押したあとで，$\mathrm{A}$が点灯している確率を$p_n$とする．

(1)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

(2)　$p_n$を求めよ．

問３　$n$を正の整数とし，ボタンを$n$回押したあとで$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が点灯し$\mathrm{C}$が消えている確率を$r_n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=e^{-x}-2x$について，次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$は常に減少していることを示せ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

問３　$0<x<1$の範囲に$f(c)=0$となる$c$が$1$つだけ存在することを示せ．必要であれば，$2<e<3$であることを用いてもよい．

問４　曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1<S_2$であることを示せ．

問５　$x\leqq 0$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=-1$で囲まれた部分が$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．