2022　広島市立大学　総合型選抜MathJax

【１】　長辺の長さが$4\mathrm{m}$の長方形の板を搬入する途中に，幅$2.5\mathrm{m}$の廊下から幅$0.5\mathrm{m}$の廊下へ直角に曲がる曲がり角がある．床に対して板面を垂直に保って長辺を床に滑らせながら，板がこの曲がり角を通過できるか調べたい．そこで，右の平面図において，板の長辺（線分$\mathrm{AB}\text{）}$の両端が壁に接したまま，点$\mathrm{A}$を上に，点$\mathrm{B}$を左に動かしていくように板を動かすことを考える．廊下の角の点$\mathrm{D}$から線分$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を点$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線と線分$\mathrm{AB}$が交わる点を$\mathrm{C}$とする．板がこの曲がり角を通過するには，線分$\mathrm{EC}$の長さが線分$\mathrm{ED}$の長さを超えることがなければよい．この考え方に基づき，この曲がり角を通過して板を運べるかどうかを調べよ．ただし，板の厚みは無視して考えてよい．

【２】

　異なる$2$単語$w_1$と$w_2$に対して，$w_1$の文字を並べ替えることで$w_2$が作れるとき，$w_1$と$w_2$はアナグラムであるという．例えば，“life”と“file"や，“life”と“lief"はそれぞれアナグラムである．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　次の$10$単語からアナグラムをすべて見つけよ．

問２　aからzまでの英小文字からなる異なる$2$単語$w_1$と$w_2$が与えられたとき，$w_1$と$w_2$がアナグラムであるか否かを判定する手続きを説明せよ．

問３　$n$を$2$以上の自然数とする．aからzまでの英小文字からなる異なる$n$個の単語が与えられたとき，アナグラムをすべて求める手続きを説明せよ．

問４　問３で述べた手続きを問１の$10$単語に適用したときの実行例を書け．

【３】

問１　$n$を自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　平面上に円を$n$個かくとき，その平面は最大でいくつの領域に分割されるか述べよ．なお，円の内側だけでなく外側も$1$つの領域として数えるものとする．例えば，円が$1$個のときは，領域数は円の内側と外側の$2$と数える．また，円が$4$個のときは，例えば右図のようにかくと領域数が最大となり，その領域数は$14$となる．

(2)　平面上に楕円を$n$個かくとき，その平面は最大でいくつの領域に分割されるか述べよ．なお，領域の数え方は(1)と同様とする．

【３】

問２　縦$7\sqrt{2}\mathrm{m}\text{，}$横$5\sqrt{2}\mathrm{m}$の長方形の教室に$36$人の生徒を立たせるとき，生徒全員が$2\mathrm{m}$より大きな間隔を保つことはできるか調べよ．ただし，生徒の大きさは無視してよい．なお，必要であれば以下の鳩の巣原理を用いてよいが，何を鳩，何を巣として考えたかわかるように説明すること．

【４】

問１　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが球団$\mathrm{C}$の$\mathrm{D}$選手について話している．$\mathrm{A}$さんは$\mathrm{D}$選手の背番号を知っているが，$\mathrm{B}$さんは$\mathrm{D}$選手の背番号が$1$以上$16$以下であることしか知らない．$\mathrm{A}$さんに対して「はい」か「いいえ」で回答する質問をして$\mathrm{D}$選手の背番号を知るには，$\mathrm{B}$さんはどのように質問すればよいか述べよ．ただし，質問できる回数は$4$回までとし，$\mathrm{A}$さんは必ず正直に「はい」か「いいえ」で回答するものとする．

【４】

問２　$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さん，$\mathrm{D}$さんの$4$人でお祭りに来たところ，$1$皿$250$円のたこ焼きを売っている出店があった．$4$人はそこでたこ焼きを$1$皿ずつ買うことにしたが，ちょうど今，出店にはお釣りに使える硬貨が無い．各々の所持金を確認したところ，

$\mathrm{A}$さんは$100$円硬貨が$4$枚と$10$円硬貨が$3$枚，

$\mathrm{B}$さんは$100$円硬貨が$3$枚と$10$円硬貨が$6$枚，

$\mathrm{C}$さんは$500$円硬貨が$2$枚，

$\mathrm{D}$さんは$500$円硬貨が$1$枚と$50$円硬貨が$1$枚と$10$円硬貨が$4$枚

であった．$4$人の間で硬貨をやり取りしたり，他の人の分を買ったりすることなく，全員がたこ焼きを$1$皿ずつ買うには，どの順番で買えばよいか述べよ．

【４】

問３　右図の$9$つの領域$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{I}$を隣り合う領域が同じ色にならないように塗り分けることを考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$色ではすべての領域を塗り分けられない理由を述べよ．

(2)　赤，緑，青，黄の$4$色ですべての領域を塗り分けたい．領域$\mathrm{D}$が青，領域$\mathrm{E}$が黄および領域$\mathrm{H}$が赤で塗られているとき，領域$\mathrm{A}$は何色で塗られるべきか調べよ．