2022　山陽小野田市立山口東京理科大学　前期MathJax

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(1)　$x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$のとき，

$x^3-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=\text{ア}\sqrt{\text{イ}}\text{，}$$x^5-{\displaystyle \frac{1}{x^5}}=\text{ウ}\text{エ}\sqrt{\text{オ}}$

である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(2)　$\theta$に関する次の恒等式が成り立つ．

$\sin 5\theta =\text{カ}\text{キ}{\sin }^5\theta$$-\text{ク}\text{ケ}{\sin }^3\theta +\text{コ}\sin \theta$

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(3)　実数$x\text{，}$$y$は$x>0\text{，}$$y>1$とする．さらに，$z$は次の式で定める．

$z=x+y+{\displaystyle \frac{x+y-1}{x(y-1)}}$

このとき，$z$の最小値は$\text{サ}$である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(4)　次の指数に関する方程式を考える．

$2^{x^3}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{3x^2}={\displaystyle \frac{1}{32}}$

このとき，方程式の解は

$x=\text{シ}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{ス}\pm \text{セ}\sqrt{\text{ソ}}}{\text{タ}}}$

である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(5)　$1$辺の長さが$1$である正二十四角形を考え，その頂点を（反時計回りに）それぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{24}$とする．このとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_{24}}$の内積について

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_{24}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{\text{チ}}+\text{ツ}\sqrt{\text{テ}}}{\text{ト}}}$

である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(6)　$3$つのサイコロ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を同時に投げるとき，次の各問いに答えよ．

(a)　出た目の和が$16$以上である場合の数は$\text{ナ}\text{ニ}$である．

(b)　出た目の積が偶数である場合の数は$\text{ヌ}\text{ネ}\text{ノ}$である．

(c)　出た目の積が$4$の倍数である場合の数は$\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}$である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(7)　$xy$平面上の図形に関する各問いに答えよ．

(a)　次の$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とする．

$x-y=1\text{，}$$x+2y=-1$

さらに，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$$(-1,{\displaystyle \frac{2}{3}})$を通る直線を$l$とする．このとき，直線$l$の方程式は，

$\text{ヘ}x+\text{ホ}y=-1$

である．

(b)　直線$l$と原点$\mathrm{O}$$(0,0)$との距離を$d$とする．このとき，

$d={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{マ}}}{\text{ミ}}}$

である．

(c)　点$\mathrm{R}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$と直線$l$に関して対称な点を$\mathrm{S}$$(p,q)$とする．このとき，

$p=-{\displaystyle \frac{\text{ム}}{\text{メ}}}\text{，}$$q＝-{\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}}$

である．

【２】　次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

　数列に関する設問に答えよ．ただし，分数は既約分数で表すものとする．

(1)　数列$\{a_n\}$は，次の式で一般項$a_n$を定める．

$a_n={\log }_2\sqrt{n+1}-{\log }_2\sqrt{8n+1}$

　数列$\{a_n\}$の極限値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$の値を求めよ．

【２】　次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

　数列に関する設問に答えよ．ただし，分数は既約分数で表すものとする．

(2)　循環小数$2.0\stackrel{\cdot }{2}\stackrel{\cdot }{1}$を分数で表せ．

$2.0\stackrel{\cdot }{2}\stackrel{\cdot }{1}=2.0212121\cdots$

【２】　次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

　数列に関する設問に答えよ．ただし，分数は既約分数で表すものとする．

(3)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$として以下の設問に答えよ．

(a)　数列$\{b_n\}$は，初項$\tan \theta \text{，}$公比$\tan \theta$とする等比数列とする．さらに，数列$\{b_n\}$は収束するとして，その極限値を$\beta$とする．このとき，$\beta$の値および$\theta$の範囲を求めよ．

(b)　数列$\{c_n\}$は，次の式で一般項$c_n$を定める．

$c_n=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{n-1}+b_n$

さらに，数列$\{c_n\}$は収束するとして，その極限値を$\gamma$とする．このとき，$\gamma$を$\theta$を用いて表せ．

(c)　$\gamma$が次の条件を満たすとき，$\theta$の値を求めよ．

$\gamma ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}$

【３】　次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

　$a$は正の実数として各問いに答えよ．ただし，分数は既約分数で表すものとする．

(1)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^a}\sqrt{a^2-x^2}\mathit{dx}$

(2)　$xy$平面において，曲線$C$を次の方程式で定める．

$x^2+a^4{y}^2=a^2$$\text{（}y\geqq 0\text{）}$

曲線$C$と$x$軸および$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$$(u,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,v)$とする．ただし，$u>0\text{，}$$v>0$とする．さらに，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$l$とする．また，直線$m$の方程式は$y={\displaystyle \frac{1}{a^2}}x$とする．

(a)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(b)　曲線$C\text{，}$直線$m$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(c)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積を$V$とする．このとき，$V$の値を$a$を用いて表せ．