2022　山陽小野田市立山口東京理科大学　中期工学部MathJax

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(1)　$3$で割ると余りが$2\text{，}$$7$で割ると余りが$4\text{，}$$11$で割ると余りが$7$である条件を満たす整数$m$を調べる．このとき，この条件を満たす整数$m$の中で$1000$以下の最大の整数は$\text{ア}\text{イ}\text{ウ}$である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(2)　全体集合$U$は$2$以上，$50$以下の自然数とする．また，$4$つの部分集合$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$は次のように定義する．

集合$A$は$2$の倍数

集合$B$は$3$の倍数

集合$C$は$5$の倍数

集合$D$は素数

さらにある集合$X$に対して，その補集合を$\bar{X}\text{，}$その要素の個数を$n(X)$でそれぞれ表すとする．このとき，

(a)　$n(A\cap B)=\text{エ}$

(b)　$n(\overline{B\cup C})=\text{オ}\text{カ}$

(c)　$n(\overline{A\cup B\cup C\cup D})=\text{キ}$

である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$において定義された$2$つの関数を

$f(x)=x\cos x\text{，}$

$g(x)=x$

とする．曲線$y=f(x)\text{，}$直線$x=2\pi$と軸で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1$および$S_2$は

$S_1=\text{ク}\pi \text{，}$$S_2=\text{ケ}{\pi }^{\text{コ}}$

である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(4)　$a$は実数として，$2$次方程式$x^2-2(a-2)x-a+14=0$は，$1<x<4$において異なる$2$つの実数解をもつとする．このとき，$a$の範囲について，

$\text{サ}<a<{\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}}{\text{セ}}}$

である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(5)　関数$f(x)$は

$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^2}(3x-2t)f(t)\mathit{dt}$

を満たす．このとき，関数$f(x)$は，

$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}x-{\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}\text{テ}}}$

である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(6)　定数$p\text{，}$$q$および定数$r\text{，}$$s$に対して次の等式がそれぞれ成り立つ．

(a)　$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{p\sqrt{x+3}-3q}{x-1}}=1$

(b)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{rx+s-\sqrt{2x^2+3x}}}=1$

このとき，$p\text{，}$$q$および$r\text{，}$$s$は，

$p=\text{ト}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$

$r=\sqrt{\text{ヌ}}\text{，}$$s={\displaystyle \frac{\text{ネ}+\text{ノ}\sqrt{\text{ハ}}}{\text{ヒ}}}$

である．

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(7)　$i$は虚数単位とする．このとき，各問いに答えよ．

(a)　次の計算をせよ．

${\displaystyle \frac{4+3i}{-2+i}}=-\text{フ}-\text{ヘ}i$

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(7)　$i$は虚数単位とする．このとき，各問いに答えよ．

(b)　$3$次方程式$x^3-5x^2+11x+7=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とする．このとき，次の計算をせよ．

${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\text{ホ}$

【１】　次の(1)から(7)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの整数を求め，解答用マークシートの指定された箇所をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(7)　$i$は虚数単位とする．このとき，各問いに答えよ．

(c)　複素数$z$は$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=\sqrt{3}$を満たす．このとき，次の計算をせよ．

$z^{20}+{\displaystyle \frac{1}{z^{20}}}=-\text{マ}$

【２】　次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

　正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．次に，$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を頂点とする三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$三角形$\mathrm{DEF}$を含む平面を$\alpha$とする．さらに，$\mathrm{G}$を通り$\alpha$に垂直な直線が平面$\mathrm{ABC}$と交わる点を$\mathrm{H}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=4$

としたとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

　微分に関する設問に答えよ．

(1)　次の関数$f(x)$の極小値を求めよ．

$f(x)=-x^3+6x^2-9x+3$

【３】　次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

　微分に関する設問に答えよ．

(2)　実数$a\text{，}$$b$$\text{（}b\ne 0\text{）}$に対して，関数$y=e^{ax}\cos bx$は，$x$に関する恒等式

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{\mathit{dx}}^2}}-2{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}+5y=0$

を満たす．このとき，$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　次の各問いに答えなさい．解答は解答用紙に導出過程も含み記入しなさい．

　微分に関する設問に答えよ．

(3)　$t$を媒介変数とする関数

$\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\sin t\end{array}$

について，次の$2$つの数式を$t$を用いてそれぞれ表せ．

(a)　${\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}\right)}^2$

(b)　${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{\mathit{dx}}^2}}$