2022　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　方程式$4x^2+(a+3)x+a=0$が実数解をもつように定数$a$のとりうる値の範囲を定めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{\angle B}=30\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$9$人を$2$人，$3$人，$4$人の$3$組に分ける方法は何通りあるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　中心が点$(8,4)$である円$C$と，円$x^2+y^2=5$が外接するとき，円$C$の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$\sqrt{2}\text{，}$$\sqrt[3]{3}\text{，}$$\sqrt[4]{5}\text{，}$$\sqrt[6]{7}$の大小を不等号を用いて表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=7\text{，}$$a_{n+1}=3a_n-4$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+2x-4}-x+6)$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{1}{{\tan }^{2}x{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　空間内に$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，次式

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=6\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\sqrt{13}\text{．}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=5\sqrt{2}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=36\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=57\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=30$

を満たすとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で定まる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$上に$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\perp \alpha$となる点$\mathrm{D}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(4)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする三角錐の体積を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{x+2}{(x+3)(x+6)}}$

と定める．また，$f(x)$が極大値をとるような$x$の値を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　等式${\displaystyle \frac{x+2}{(x+3)(x+6)}}={\displaystyle \frac{A}{x+3}}+{\displaystyle \frac{B}{x+6}}$が$x$について恒等式となるように，定数$A\text{，}$$B$の値を定めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸と直線$x=-2\text{，}$$x=a$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$2$個のさいころを同時に投げるとき，少なくとも一方の目の数が素数になる確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　点$(1,1)$からの距離が$2\sqrt{10}$であり，傾きが$-3$である直線の方程式を求めよ．

【３】　関数$f(x)=6x^2-9x\text{，}$$g(x)=x^3+3x^2-9x+4$について，次の各問に答えよ．

(1)　関数$g(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の共有点の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた共有点のうち$x$座標が最も小さいものを点$\mathrm{A}\text{，}$$x$座標が最も大きいものを点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{B}$における曲線$y=g(x)$の接線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の方程式を求めよ．

(4)　(3)で求めた$2$直線$l_1$と$l_2$の交点の$x$座標を$c$とする．曲線$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq c$の部分と直線$l_1\text{，}$$x=c$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．