2022　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　方程式$2x^2+\left|x\right|-6=0$の実数解を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$100$円硬貨，$50$円硬貨，$10$円硬貨を使って，ちょうど$500$円を支払う方法は何通りあるか．硬貨は何枚使ってもよく，また，使わない硬貨があってもよい．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$2\leqq n\leqq 100$を満たす整数$n$のうち，${\displaystyle \frac{1}{n}}$が有限小数で表されるものの個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$x$の整式$P(x)$を$x-1$で割ったときの余りは$2$であり，$x-2$で割ったときの余りは$3$である．このとき，$P(x)$を$(x-1)(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　次の方程式が異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

$x^3-3x^2-9x=a$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$2$直線$x-3y+5=0\text{，}$$x+2y+4=0$のなす角$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　複素数平面上において，複素数$1+3i$を表す点を$\mathrm{A}\text{，}$$3+7i$を表す点を$\mathrm{B}$とし，実部が負である複素数$a+bi$を表す点を$\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，複素数$a+bi$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　定積分${\displaystyle {\int }_0^5}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{9-x}}}\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$k$を定数とする．座標平面上に$2$直線

$l\text{：}x-2y-4=0\text{，}$$m\text{：}(k+2)x+(k-1)y-6k-3=0$

と点$\mathrm{A}$$(5,3)$がある．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$2$直線$l\text{，}$$m$が平行となるような$k$の値を求めよ．

(2)　直線$l$に関して，点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　定数$k$の値にかかわらず，直線$m$はある定点$\mathrm{C}$を通る．点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(4)　(3)の点$\mathrm{C}$について，点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PC}$の最小値を求めよ．

(5)　$k$は(1)で求めた値とする．点$\mathrm{P}$が直線$l$上を，点$\mathrm{Q}$が直線$m$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}$の最小値を求めよ．

【３】　$x>0$の範囲で定義された関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$を考え，方程式$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．また，この関数が極大値をとるときの$x$の値を$\alpha$とし，このときの極大値を$M$とする．さらに，曲線$C$と$x$軸および直線$x=\alpha$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べよ．また，$\alpha$および$M$の値を求めよ．

(2)　図形$D$の面積を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　図形$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　座標平面において，$4$点$(0,0)\text{，}$$(1,0)\text{，}$$(1,1)\text{，}$$(0,1)$を頂点とする正方形$D$を考える．放物線$y=x^2-2ax+4a$の頂点がこの正方形$D$の周および内部にあるような定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$t$を実数とする．$\overrightarrow{a}=(t.4.-2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2t.-3,t)$と定めるとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直となるような$t$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると

$S_n=2a_n-3n+4$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立っている．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_1$と$a_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$を用いた式（漸化式）で表せ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

(4)　次の和を求めよ．

$S_1+S_2+\cdots +S_n$