2022　高知工科大学　総合選抜システム工学群MathJax

【１】　平面上に異なる$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+7\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

が成り立っている．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は同一直線上にないとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分の長さの比の値${\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OC}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}}$を求めよ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．またこのとき，四角形$\mathrm{OACB}$の面積を求めよ．

【２】　$0\leqq \theta \leqq \pi$で定義された関数$f(\theta )$を

$f(\theta )=2\sin \theta {\cos }^3\theta -2\sin \theta \cos \theta$$-{\cos }^2\theta +3$

とする．また，$t=\sin 2\theta +\cos 2\theta$とおく．

　なお必要に応じて三角関数の加法定理$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \text{，}$および$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$を用いてよい．

(1)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\theta )$を$t$を用いて表せ．

(3)　$f(\theta )$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{cc}2x^2+2x& \text{（}x\leqq 0\text{）}\\ x^2-2x& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

とする．$a$を実数の定数とし，直線$y=ax$と曲線$y=f(x)$が原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わるとする．ただし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$x_1\text{，}$$x_2$とおくと，$x_1<0<x_2$が成り立つとする．

(1)　$x_1\text{，}$$x_2$の値をそれぞれ$a$を用いて表せ．また，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{OP}$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積を$S_2$とおく．$S_1\text{，}$$S_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$S_1\text{，}$$S_2$に対して，$S(a)=S_1+S_2$とおく．$a$が(1)で求めた範囲を変化するとき，$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．