2022　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の関数を微分せよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$\text{①}$　$y=3x^5\cos x$　$\text{②}$　$y=\log {\displaystyle \frac{x}{x+5}}$$\text{（}x>0\text{）}$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$x=\log t$とおくことにより，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}\mathit{dx}$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$1\text{，}$$2\text{，}$$4\text{，}$$7$の$4$個の数字をすべて使って$4$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

$\text{①}$　整数は何個できるか．

$\text{②}$　$4$の倍数は何個できるか．

【２】　自然数$n$に対して，実数$x$の関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=nx{e}^{-n{x}^2}$

で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$について，$f_n(x)$の区間$0\leqq x\leqq 1$における最大値を求めよ．

(2)　$0<x\leqq 1$を満たす各$x$について極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．ただし，実数$t>0$のとき$e^t>t^2$であることを証明なしに用いてよい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(5)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　実数$\theta$に対して，複素数$\cos \theta +i\sin \theta$を対応させる関数

$f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$

を考える．ただし，$i$は虚数単位を表す．次の問いに答えよ．

(1)　$f(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$の値を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$を実数とする．$f(\alpha +\beta )$を，$f(\alpha )$と$f(\beta )$を用いて表せ．

(3)　$n$は自然数，$z$は$z\ne 1$を満たす複素数とし，

$S_n=1+z+z^2+z^3$$+\cdots +z^{n-2}+z^{n-1}$

とおく．このとき，$S_n-z{S}_n$を計算せよ．また，その結果を利用して，$S_n$を求めよ．

(4)　$n$は$2$以上の自然数とする．$l$が$-n+1\leqq l\leqq n-1$を満たす整数のとき，

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}f({\displaystyle \frac{2\pi }{n}}lk)$

を求めよ．

(5)　$n$は$2$以上の自然数とする．$n$個の実数$p_0\text{，}$$p_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$p_{n-1}$に対し，

$\varphi (k)={\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}}f({\displaystyle \frac{2\pi }{n}}jk)p_j$$\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

とおく．このとき，$0\leqq m\leqq n-1$を満たす整数$m$について，

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}f(-{\displaystyle \frac{2\pi }{n}}mk)\varphi (k)$

を，$n$と$p_m$を用いて表せ．