2022　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　定数$a\text{，}$$b$に対し，$3$つの$2$次方程式

$x^2-(a+2)x+2a=0$$\cdots \text{①}$

$x^2+(4-b)x-4b=0$$\cdots \text{②}$

$x^2+(6b-3a)x-18ab=0$$\cdots \text{③}$

の解の集合をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．集合$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の共通部分$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C}$の要素が正の整数$m$$1$つのみで$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C}=\{m\}$と表されるとき，以下の問に答えなさい．

(1)　定数$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．また，集合$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をそれぞれ要素を書き並べて表しなさい．

(2)　$m^a<{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n<m^b$を満たす整数$n$をすべて求めなさい．ただし，${\log }_{2}3=1.6$とする．

【２】　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を表す複素数をそれぞれ

$z_1=2+i\text{，}$$z_2=1\text{，}$$z_3=2i$

とするとき，以下の問に答えなさい．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の重心$\mathrm{G}$を表す複素数$g$を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をそれぞれ点$\mathrm{G}$を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転した点を表す複素数$w_1\text{，}$$w_2\text{，}$$w_3$を求めなさい．

【３】　一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OPQ}$がある．線分$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{QO}$の中点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．また，線分$\mathrm{PA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

　ここで，正三角形$\mathrm{OPQ}$の点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がすべて重なるように$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$を折り曲げ正四面体$\mathrm{OABC}$を作成する．

　以下の問に答えなさい．

(1)　正三角形$\mathrm{OPQ}$において，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{q}$とする．正三角形$\mathrm{OPQ}$におけるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$をベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$および$t$で表しなさい．

(2)　正三角形$\mathrm{OPQ}$において，点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めなさい．

(3)　正四面体$\mathrm{OABC}$において，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{c}$とする．正四面体$\mathrm{OABC}$におけるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{LN}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$で表しなさい．

(4)　正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{LN}}\right|$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．

【４】　袋$\mathrm{A}$には赤玉が$3$個，白玉が$2$個入っている．袋$\mathrm{B}$には赤玉が$2$個，白玉が$3$個入っている．最初に袋$\mathrm{A}$から玉を$3$個取り出す．次に，取り出した玉を袋$\mathrm{B}$に入れてよく混ぜる．この状態での袋$\mathrm{B}$を改めて袋${\mathrm{B}}^{\prime }$と呼ぶことにする．そして袋${\mathrm{B}}^{\prime }$から玉を$3$個取り出す．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　赤玉が$3$個，白玉が$5$個入っている袋から，玉を$3$個取り出す．取り出した玉のうち，赤玉の数が$2$個となる確率を求めなさい．

(2)　袋$\mathrm{A}$から取り出した玉のうち，赤玉の数が$1$個となる確率$p_1\text{，}$$2$個となる確率$p_2\text{，}$$3$個となる確率$p_3$をそれぞれ求めなさい．

(3)　袋${\mathrm{B}}^{\prime }$から取り出した玉のうち，赤玉の数が$2$個となる確率を求めなさい．

(4)　袋${\mathrm{B}}^{\prime }$から取り出した玉のうち，赤玉の数が$2$個であったとき，袋$\mathrm{A}$から取り出した玉のうち，赤玉の数が$2$個であった条件付き確率を求めなさい．

【５】　$0$以上の整数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x^2}}\mathit{dx}$

とするとき，以下の問に答えなさい．ただし，$\log x$は自然対数である．

(1)　$I_0$および$I_1$の値を求めなさい．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$I_n$を$n$と$I_{n-1}$を用いて表しなさい．

(3)　$0$以上の整数$n$に対して，$I_n$は

$I_n=(1-{\displaystyle \frac{1}{e}}{\displaystyle \sum _{s=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{s!}})n!$

となることを数学的帰納法により示しなさい．

(4)　$I_4$の値を求めなさい．

【２】　$x$についての整式$P(x)$に対して

$P(x)=(ax+b)(x-1)x$

$P(x^2)=x^{3}P(x)+x^2(x^2-1)$

が成り立つとする．ただし，$a\text{，}$$b$は定数とする．以下の問に答えなさい．

(1)　$P(0)\text{，}$$P(1)\text{，}$$P(-1)$の値を求めなさい．

(2)　定数$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

【５】　定数$a\text{，}$$b$に対し，関数$f(x)=x^3+3a{x}^2+3bx$とおく．以下の問に答えなさい．

(1)　$f(x)$が極値を持たないときの$b$の範囲を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$f(x)$が$x=-1$で極大値$m$を持ち，$x=c$で極小値$n$を持つとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$m-n$を$c$で表しなさい．

(3)　$f(x)$が$x=-1$で極大値$m$を持ち，$x=c$で極小値$n$を持ち，$m-n={\displaystyle \frac{27}{2}}$であるとき，$c$の値を求めなさい．

(4)　$f(x)$が$x=-1$で極大値$m$を持ち，$x=c$で極小値$n$を持ち，$m-n={\displaystyle \frac{27}{2}}$であるとき，$y=f(x)\text{，}$$x$座標，$x=-1\text{，}$$x=c$で囲まれる部分の面積を求めなさい．