2022　長崎県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

問１　$2$つの変量$x$と$y$のそれぞれ$5$個のデータが右下の表のように与えられている．$x\text{，}$$y$ともに平均が$6$で，$y$の分散が$32$である．

(1)　$a$の値を定め，$x$の分散を求めなさい．

(2)　$x$と$y$の相関係数が$0.7$のとき，$b\text{，}$$c$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

問２　$x$についての関数$f(x)={\log }_3(9x+18)$$+{\log }_3(x+3)$がある．

(1)　定義域の$x$の値の範囲を求め，$f(x)={\log }_3(x^2+ax+b)+c$の形で表しなさい．

(2)　$f(x)=3$となる$x$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

問３　男子$3$人，女子$5$人，合計$8$人の生徒がいる．

(1)　両端が女子になるように$1$列に並ぶ並び方は，全部で何通りあるか求めなさい．

(2)　$4$人ずつの$2$組に分ける分け方は，全部で何通りあるか求めなさい．

【２】　$x$についての関数$f(x)=x^3-3a^{2}x+2$$\text{（}a>0\text{）}$がある．次の問いに答えなさい．

問１　$f(x)$の増減を調べ極大値と極小値を$a$で表しなさい．

問２　$y=f(x)$のグラフは$x$軸に接している．(1)，(2)，(3)に答えなさい．

(1)　$a$の値を定め，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　$t>0$とする．$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(t,f(t))$における接線の方程式を求めなさい．さらに，この接線が$y=f(x)$と再び交わる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表しなさい．

(3)　(2)のとき，$y=f(x)$と接線で囲まれる部分の面積が$108$となるときの$t$の値を求めなさい．

【３】　数列$\{a_n\}$$\text{（}n$は自然数）があり，$a_1=2\text{，}$$a_{2n-1}=a_{2n}-(n-2)\text{，}$$a_{2(n+1)}=a_{2n}+2$を満たしている．次の問いに答えなさい．

問１　$a_2\text{，}$$a_3$を求めなさい．

問２　$a_{2n}=b_n$として，$b_n$を$n$の式で表しなさい．

問3　$n\geqq 3$のとき，$S={\displaystyle \frac{1}{{a_5}^2-{a_6}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{a_7}^2-{a_8}^2}}$$+{\displaystyle \frac{1}{{a_9}^2-{a_{10}}^2}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{a_{2n-1}}^2-{a_{2n}}^2}}$を$n$の式で表しなさい．

【４】　中心が$\mathrm{O}$で半径が$1$の円$T$に内接する正三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$\text{（}t$は実数の定数で，$t\ne 0\text{）}$と表されるとき，次の問いに答えなさい．

問１　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求め，さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となることを示しなさい．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$で表し，次に点$\mathrm{P}$が円$T$の円周上にあるときの$t$の値を求めなさい．

問３　問２において，直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．解答用紙には，途中の過程も記しなさい．

問１　$x\geqq 1$のとき不等式$\log x<\sqrt{x}$が成り立つことを示し，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}$を求めなさい．

問２　$x$についての$2$つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$と$g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$がある．次の(1)，(2)に答えなさい．ただし，$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=-\infty$は証明なしで用いてよい．

(1)　$y=f(x)$の増減，凹凸を調べグラフをかきなさい．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$a$とする．$a$の値を定め，$0<t<a$のとき，$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)\text{，}$$x=t$で囲まれる部分の面積が${\displaystyle \frac{9}{2}}$となる$t$の値を求めなさい．

【３】　$\mathrm{A}$が書かれたカード，$\mathrm{B}$が書かれたカード，$\mathrm{C}$が書かれたカードが，それぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋から$1$枚のカードを取り出し，下の(規則１)，(規則２)，(規則３)に従い，$1$から$6$が書かれたサイコロを投げて出た目の数について$X$を定める．

(規則１)　袋から取り出したカードに$\mathrm{A}$が書かれていたときは，サイコロを$1$回投げて出た目の数を$2$倍した数を$X$とする．

(規則２)　袋から取り出したカードに$\mathrm{B}$が書かれていたときは，サイコロを$1$回投げて出た目の数をそのまま$X$とする．

(規則３)　袋から取り出したカードに$\mathrm{C}$が書かれていたときは，サイコロを$2$回投げて出た目の数の和を$X$とする．

　次の問いに答えなさい．

問１　$X=1$となる確率を求めなさい．

問２　$X=3$となる確率を求めなさい．

問３　$X\leqq 4$となる確率を求めなさい．

問４　$X\leqq 6$となるとき，袋から取り出したカードが$\mathrm{A}$である条件付き確率を求めなさい．