2022　東北学院大学　前期A日程文系MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$|x+1|-|x-1|=x$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　不等式$x^2+14x-13<0$の整数解の個数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　命題$\text{「}x$は有理数かつ$y$は無理数$⟹xy$は無理数」は偽である．このことを示す反例をあげよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{AC}=5$であるとき，$\sin \mathrm{\angle ABC}$の値を求めよ．

【２】　$2$次関数$f(x)=-x^2+2\sqrt{2}x+1$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$-1\leqq x\leqq 2$のとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　$-1\leqq x\leqq 2$のとき，関数$y=|f(x)|-3$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}$$b$が$a>b>1$と${\log }_{a}b+{\log }_{b}a=3$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$({\log }_{a}b)({\log }_{b}a)$の値を求めよ．

(ⅱ)　${\log }_{a}b-{\log }_{b}a$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3-x^2$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x$が$a$から$b$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率を求めよ．ただし，$a<b$とする．

(ⅱ)　$x$が$1$から$2$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，$x=c$における微分係数$f^{\prime }(c)$に一致するとき，$c$の値を求めよ．ただし，$1<c<2$とする．

【５】　$1$辺の長さ$4$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，辺$\mathrm{EH}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{EP}:\mathrm{PH}=1:3$となるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle APF}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{APF}$の面積$S$を求めよ．

(ⅲ)　四面体$\mathrm{AEFP}$の頂点$\mathrm{E}$から平面$\mathrm{AFP}$に下ろした垂線$\mathrm{EI}$の長さを求めよ．

【６】　数列$\{a_n\}$を$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　すべての自然数$n$について，$a_n\geqq \sqrt{2}$を示せ．

(ⅱ)　すべての自然数$n$について，$a_{n+1}\leqq a_n$を示せ．