2022　東北学院大学　前期A日程工学部MathJax

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　循環小数$0.\stackrel{\cdot }{2}02\stackrel{\cdot }{2}$を既約分数で表すと$\text{(ア)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　方程式$99\times {0.1}^x-{0.01}^x+100=0$をみたす実数$x$の値は$\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$$(-2,-3)$と点$\mathrm{Q}$$(4,3)$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{M}$を通り，線分$\mathrm{PQ}$に直交する直線の方程式は$\text{(ウ)}$である．

【２】　円$C\text{：}{(x-3)}^2+y^2=4$と直線$l\text{：}y=ax+a+2$について，以下の問いに答えよ．ただし円$C$の中心を$\mathrm{M}$とし，$a$の値によらず直線$l$が通る点を$\mathrm{A}$とする．

(ⅰ)　直線$l$が円$C$に接するときの$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{A}$から円$C$へ接線を$2$本引き，接点を$x$座標の大きい方から順に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\cos \mathrm{\angle PMQ}$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^2-|x^2-2x|$ついて以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅱ)　点$(0,-1)$を通る直線$y=mx-1$が$y=f(x)$と$3$個の共有点をもつための傾き$m$の範囲を求めよ．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=2x$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を用いてよい．

(ⅱ)　(ⅰ)の結果を用いて，$e^{\pi }$と${\pi }^{\mathrm{e}}$のどちらが大きいかを判定せよ．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフの$y\geqq 0$の部分，直線$x=e\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．