2022　東北学院大学　前期A日程工学部数学選択MathJax

【１】　$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，出た目を順に$a\text{，}$$b$で表す．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{a+b}{a}}$が整数となる場合は何通りか求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$が整数となる場合は何通りか求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$が有限小数ではない循環小数となる場合は何通りか求めよ．

【２】　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$\tan \theta ={\displaystyle \frac{4}{3}}$とする．$a_n=5^n\cos n\theta \text{，}$$b_n=5^n\sin n\theta$に関して以下の問いに答えよ．ただし$n$を自然数とする．

(ⅰ)　$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　$a_2+b_2$の値を求めよ．

(ⅲ)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

【３】　円$T$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，各辺の長さは$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{CD}=\sqrt{6}-\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{DA}=2\sqrt{2}$である．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle ABC}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle CDA}=\beta$とするとき，$\cos \beta$を$\cos \alpha$の式で示せ．

(ⅱ)　$\cos \alpha$の値，および$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　円$T$の半径，および$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．