2022　東北学院大学　前期B日程文系2月2日MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=5$のとき，$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフを$x$軸方向に$-1\text{，}$$y$軸方向に$3$だけ平行移動し，さらに$y$軸に似して対称移動して得られる曲線の方程式が$y=2x^2-12x-17$であるとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　$2$直線$y=\sqrt{3}x+1\text{，}$$y=-x+1$のなす角$\theta$の値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　命題「ある実数$x$について，$x^2=2x$が成り立つ」の否定を述べ，その真偽を調べよ．

【２】　$t$を実数とし，集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{x|x^2-2tx+t^2-9\leqq 0\text{，}x\text{は実数}\}\text{，}$$B=\{x|-2\leqq x\leqq 2\text{，}x\text{は実数}\}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$A\cap B=\varphi$となるような$t$の値の範囲を求めよ．ただし，$\varphi$は空集合を表す．

(ⅱ)　$A\cup B$に属する整数が$8$個となる$t$の値の範囲を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　正の実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が$a^2+b^2=c^2+d^2\text{，}$$ab=cd$を満たすならば，

$\{\begin{array}{l}a=c\\ b=d\end{array}$または$\{\begin{array}{l}a=d\\ b=c\end{array}$

であることを示せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$と三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$が$\mathrm{\angle BCA}=\angle {\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$を満たし，さらに面積が等しいならば，$2$つの三角形は合同であることを示せ．

【４】　関数$y=x^3+2x^2+5x+3$のグラフと関数$y=2x^3-x^2-4x+a$のグラフが相異なる$3$点で交わるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【５】　$1$から$9$までの番号をつけた9枚のカードから同時に$3$枚を取り出し，その$3$枚の番号の和を$x\text{，}$積を$y$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x$が$10$である確率を求めよ．

(ⅱ)　$y$が$48$である確率を求めよ．

(ⅲ)　$x$が偶数である確率を求めよ．

(ⅳ)　$y$が$3$の倍数である確率を求めよ．

【６】　数列$\{a_n\}$を$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_{n+2}=3a_n+4$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(ⅱ)　$n$が偶数のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

(ⅲ)　$a_n$の一般項を求めよ．