2022　東北学院大学　前期B日程工学部数学選択MathJax

【１】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{OA}=t$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が直交するとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(ⅱ)　${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$を$t$で表せ．

(注)　(ⅲ)は削除された．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=-1\text{，}$$a_{n+1}=a_n+{(-1)}^{n+1}(n+1)\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5\text{，}$$a_6$の値を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{35}}{a}_k$の値を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{35}}\left|a_k\right|$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$304$と$308$の最大公約数$d$を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$d$の値に対し，$304x+308y=d$をみたす整数の組$(x,y)$をひとつ求めよ．

(ⅲ)　(ⅰ)で求めた$d$の値に対し，$304x+308y=d$をみたす整数$x\text{，}$$y$の組をすべて求めよ．