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2022-12951-0101

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【１】　整式 $2 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x + 1$ を整式 $2 x - 3$ で割ると，商が $A x^{2} + B x + C ，$ 余りが $D$ となる．

　 $\frac{D - A}{C} + B$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【２】　 $x = \sqrt{2} + \sqrt{6} ，$ $y = \sqrt{2} - \sqrt{6}$ であるとき， $A = \frac{x^{9} - y^{9}}{x^{6} - y^{6}}$ とする．

　 $\frac{5 A}{34 \sqrt{2}}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【３】　 $2$ つの数 $α ，$ $β$ を解とする $2$ 次方程式 $x (x + 1) + (x + 1) (x + 2)$ $+ (x + 2) (x + 3)$ $+ (x + 3) (x + 1) = 0$ について考える．

　 $(α + 2) (β + 2) = \frac{1}{k}$ であるとき， $k$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【４】　不等式 $\sqrt{3} \cos x ≧ | 2 \cos x - \sin x |$ $（ 0 ≦ x ≦ 2 π ）$ を満たす $x$ のとりうる範囲は， $a ≦ x ≦ b$ と表せる． $\frac{b}{a}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【５】　 $ω = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ とする $（ i^{2} = - 1 ）．$ $| ω^{100} + ω^{50} |$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【６】　 $1$ 辺の長さが $1$ の正五角形 $P$ について考える．正五角形 $P$ の外接円を $C$ とする．正五角形 $P$ の面積を $S ，$ 外接円 $C$ の面積を $T$ と表記する．

　 $\frac{T}{S} \cdot \frac{5}{π} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$ の値を求めよ． $\sin 72 ° = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}$ である．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【７】　座標平面上（原点を $O$ とする）において，放物線 $C_{1} ： y = x^{2}$ 上に点 $P$ （点 $P$ の $x$ 座標は正の実数とする），放物線 $C_{2} ： y = \frac{1}{2} x^{2}$ 上に点 $Q$ をとることにする． $▵OPQ$ の面積を $S$ と表記する．

　 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = - \frac{1}{2}$ のとき， $S$ の最小値を $m$ とする． $2 m^{2}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【８】　座標平面上（原点を $O$ とする）において，円 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上に点 $P$ （点 $P$ の $y$ 座標は正の実数とする），直線 $l ： x = 0$ 上に点 $Q$ $(0, t)$ $（ t$ は正の実数とする）をとることにする．

　 $\vec{OP} \cdot \vec{QP} = 0$ を満たしながら点 $P ，$ $Q$ が動き， $| \vec{OQ} |$ が最小となるときの $\frac{5}{3} | \vec{OP} | | \vec{QP} |$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【９】　 $3$ つの点 $A$ $(1, 2, - 2) ，$ $B$ $(2, 1, 3) ，$ $C$ $(3, 4, 2)$ が定める平面 $ABC$ 上に点 $P$ $(0, 4, k)$ $（ k$ は実数）が存在するとき， $| 2 k + 10 |$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【10】　実数 $x ，$ $y$ $（ y ≧ 0 ）$ が $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ を満たすとき， $5 x + 2 y$ のとりうる値の範囲は， $m ≦ 5 x + 2 y ≦ M$ となる． $\sqrt{M^{2} - m^{2}}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【11】　実数 $x ，$ $y$ は， $2 x^{2} - 8 x + 2 y^{2} - 1 < 0 ，$ $x^{2} - 5 x - y^{2} + y + 6 < 0$ を満たすものとする．

　 $x + y$ と $x - y$ がともに整数となるとき， $(x + y, x - y)$ の組はいくつあるか．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【12】　座標平面上で点 $P$ は原点 $O$ から出発して，1)，2)のように動くものとする．

1)　 $1$ 枚の硬貨を投げて表であれば， $x$ 軸の正の方向へ $1$ 動く．

2)　 $1$ 枚の硬貨を投げて裏であれば， $y$ 軸の正の方向へ $1$ 動く．

　硬貨を $7$ 回続けて投げたとき，線分 $OP$ の長さが整数となる確率を $k$ とする． $16 k$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【13】　曲線 $C ： y = x^{3} - 27 x^{2} + 231 x + 10$ と直線 $l ： y = m x + m - 249$ $（ m$ は実数）は，点 $A$ で接し，点 $B$ で交わる．点 $A$ の $x$ 座標を $α ，$ 点 $B$ の $x$ 座標を $β$ $（ α$ と $β$ は実数， $α > β ）$ としたとき， $\frac{2 m}{α} + β$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【14】　関数 $y = 8^{x} + 8^{- x}$ $- 5 (4^{x} + 4^{- x})$ $+ 6 (2^{x} + 2^{- x}) + 5$ $（ x ≧ 1 ，$ $x$ は実数）の最小値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【15】　 $- π ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ において， $2$ つの曲線 $C_{1} ： y = \sin x ，$ $C_{2} ： y = - \frac{4}{3 π^{2}} x^{2} + \frac{4}{3}$ に囲まれた面積を $S$ とする．

　 $S - \frac{3}{2} π$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【16】　曲線 $C_{1} ： y = e^{x} - 1$ $（ x > 0 ，$ $x$ は実数）， $C_{2} ： y = \frac{1}{e^{x} - 1}$ $（ x > 0 ，$ $x$ は実数），直線 $L_{1} ： x = \frac{1}{2} ，$ 直線 $L_{2} ： x = k$ $（ k > \log 2 ，$ $k$ は実数）について考える．直線 $L_{1}$ と $x$ 軸の交点を $E ，$ 直線 $L_{1}$ と曲線 $C_{1}$ の交点を $F ，$ 直線 $L_{2}$ と $x$ 軸の交点を $G ，$ 直線 $L_{2}$ と曲線 $C_{2}$ の交点を $H$ とする． $x$ 軸，線分 $EF ，$ 曲線 $C_{1} ，$ 曲線 $C_{2} ，$ 線分 $GH$ で囲まれた面積を $S_{k}$ とする．

　 $\lim_{k \to \infty} S_{k}$ の値を求めよ．ただし， $e$ は自然対数の底， $\log 2$ は自然対数とする．必要があれば， $- \frac{1}{e^{x} - 1} = \frac{e^{x} - 1 - e^{x}}{e^{x} - 1}$ を用いよ．

$㋐ \frac{7}{2} + \sqrt{e}$ $㋕ \frac{5}{2} + \sqrt{e}$ $㋚ \frac{3}{2} + \sqrt{e}$

$㋟ 1 + \sqrt{e}$ $㋤ \frac{1}{2} + \sqrt{e}$ $㋩ \frac{7}{2} - \sqrt{e}$

$㋮ \frac{5}{2} - \sqrt{e}$ $㋳ \frac{3}{2} - \sqrt{e}$ $㋶ 1 - \sqrt{e}$

$㋻ \frac{1}{2} - \sqrt{e}$

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【17】　 $S = \int_{1}^{e^{3}} x^{2} {(\log x)}^{2} dx$ とする． $\log (\frac{27 S + 2}{65})$ の値を求めよ．ただし， $e$ は自然対数の底， $\log x ，$ $\log (\frac{27 S + 2}{65})$ は自然対数とする．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【18】　次の文章を読み，以下の問い（問題 $18 〜$ $21 ）$ に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　関数 $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ $+ \sin x \cos x$ $+ \frac{\sqrt{3}}{3} \cos^{2} x$ $（ 0 ≦ x < 2 π ）$ の最大値 $（ M ）$ と最小値 $（ m ）$ について考える．

Ⅰ　 $t = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ とおくと， $t = A \sin (x + \frac{π}{3})$ とすることができる． $A = 18$ である．

$18$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅱ　関数 $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ $+ \sin x \cos x$ $+ \frac{\sqrt{3}}{3} \cos^{2} x$ $（ 0 ≦ x < 2 π ）$ を $t$ の式で表記すると， $y = \frac{\sqrt{3}}{6} {(t + B)}^{2} - C$ となる． $B = 19 ，$ $C = 20$ である．

$19$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ \sqrt{3}$ $㋟ 2 \sqrt{3}$ $㋤ 3 \sqrt{3}$

$㋩ \sqrt{6}$ $㋮ 2 \sqrt{6}$ $㋳ 3 \sqrt{6}$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

$20$

$㋐ 0$ $㋕ \frac{1}{2}$ $㋚ \frac{\sqrt{3}}{2}$ $㋟ \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ $㋤ 3 \sqrt{3}$

$㋩ \frac{\sqrt{6}}{2}$ $㋮ \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ $㋳ \sqrt{6}$ $㋶ 3$ $㋻ 6$

Ⅲ　 $| 3 m + 4 M |$ の値は $21$ となる．

$21$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【16】　次の文章を読み，以下の問い（問題 $22 〜$ $25 ）$ に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　初項が $a$ $（ a$ は正の整数），公差が $3$ の等差数列 ${a_{n}}$ $（ n$ は自然数）について考える．

　この等差数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする． $S_{n} = 4095$ であるとき，以下の設問に答えよ．

Ⅰ　 $S_{n}$ は $22$ と表すことができる．

$22$

$㋐ n (2 a + 3 n)$ $㋕ n (2 a + 3 n - 1)$ $㋚ n (2 a + 3 n - 2)$

$㋟ n (2 a + 3 n - 3)$ $㋤ n (2 a + 3 n - 4)$ $㋩ \frac{n}{2} (2 a + 3 n)$

$㋮ \frac{n}{2} (2 a + 3 n - 1)$ $㋳ \frac{n}{2} (2 a + 3 n - 2)$

$㋶ \frac{n}{2} (2 a + 3 n - 3)$ $㋻ \frac{n}{2} (2 a + 3 n - 4)$

Ⅱ　 $a$ は $23$ と表すことができる．

$23$

$㋐ \frac{4095}{n} - \frac{3}{2} n$ $㋕ \frac{4095}{n} - \frac{3}{2} (n - 1)$

$㋚ \frac{4095}{n} - \frac{3}{2} (n - 2)$ $㋟ \frac{4095}{n} - \frac{3}{2} (n - 3)$

$㋤ \frac{4095}{n} - \frac{1}{2} n$ $㋩ \frac{4095}{n} - \frac{1}{2} (n - 1)$

$㋮ \frac{4095}{n} - \frac{1}{2} (n - 2)$ $㋳ \frac{4095}{n} - \frac{1}{2} (n - 3)$

$㋶ \frac{4095}{n} - \frac{3}{2} (2 n - 1)$ $㋻ \frac{4095}{n} - \frac{3}{2} (2 n - 3)$

Ⅲ　 $n = 24$ のとき， $a$ は最小値 $25$ をとる． $（ a$ は正の整数）

$24$

$㋐ 39$ $㋕ 40$ $㋚ 41$ $㋟ 42$ $㋤ 43$

$㋩ 44$ $㋮ 45$ $㋳ 46$ $㋶ 47$ $㋻ 48$

$25$

$㋐ 16$ $㋕ 17$ $㋚ 18$ $㋟ 19$ $㋤ 20$

$㋩ 21$ $㋮ 22$ $㋳ 23$ $㋶ 24$ $㋻ 25$

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