2022　自治医科大　医学科２次試験MathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$の正四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$について考える．

　図に示すように，$\mathrm{▵}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の重心を点${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の重心を点${\mathrm{B}}_2\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{D}}_1$の重心を点${\mathrm{C}}_2\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の重心を点${\mathrm{D}}_2$とする．

　以下の設問に答えよ．

1)　$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1=\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_1$$=\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{D}}_1$$=90\mathrm{°}$となることを示し，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$の長さと正四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の体積を求めよ．

2)　${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1⫽{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$であることを示し，線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$の長さを求めよ．

3)　${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2\text{，}$${\mathrm{D}}_2$を頂点とする立体は正四面体となることを証明せよ．

4)　上記の作業を繰り返し$\text{（}k\geqq 3\text{，}$$k$は整数），$\mathrm{▵}{\mathrm{B}}_{k-1}{\mathrm{C}}_{k-1}{\mathrm{D}}_{k-1}$の重心を点${\mathrm{A}}_k\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{C}}_{k-1}{\mathrm{D}}_{k-1}$の重心を点${\mathrm{B}}_k\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{B}}_{k-1}{\mathrm{D}}_{k-1}$の重心を点${\mathrm{C}}_k\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{B}}_{k-1}{\mathrm{C}}_{k-1}$の重心を点${\mathrm{D}}_k$とする．

　新たに構成された${\mathrm{A}}_k\text{，}$${\mathrm{B}}_k\text{，}$${\mathrm{C}}_k\text{，}$${\mathrm{D}}_k$を頂点とする立体は正四面体となることを示せ．

　以下の設問5)，6)については設問3)，4)の結果を証明なしに用いてもよい．

5)　上記の設問の作業により構成された正四面体${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n$$\text{（}n\geqq 2\text{，}$$n$は整数）の体積を$V_n$とする．正四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の体積を$V_1$と表記する．$V_n\leqq {\displaystyle \frac{V_1}{{10}^{100}}}$となるときの$n$の最小値を求めよ．必要であれば，${\log }_{10}3=0.4771$を用いよ．

6)　$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{V}_i$とする．$S_n$を$V_1$を用いて表すとともに，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{V_1}}$の値を求めよ．