2023　自治医科大　看護学科MathJax

【１】[１]　$\alpha =4+\sqrt{15}$とする．このとき，${\alpha }^2=\text{ア}\alpha -\text{イ}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\text{ウ}-\alpha$が成り立つ．また，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\left|{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\right|{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}-4|-4|-4$$=\text{エオカ}-\text{キク}\alpha$である．

【１】[２]　ある会社で$120$人の社員に対して$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$つの疾患の有無を調べたところ，以下のようなことが分かった．

(ⅰ)　疾患$\mathrm{B}$のみをもつ者の数は，どの疾患ももたない者の数と同じであった．

(ⅱ)　疾患$\mathrm{B}$をもつ者のうち，疾患$\mathrm{A}$または疾患$\mathrm{C}$をもつ者の数は，疾患$\mathrm{B}$のみをもつ者の数の$3$倍であった．

(ⅲ)　疾患$\mathrm{A}$をもつ者は$71$人，疾患$\mathrm{C}$をもつ者は$43$人，疾患$\mathrm{A}$と疾患$\mathrm{C}$の両方をもつ者は$16$人であった．

(1)　疾患$\mathrm{A}$と疾患$\mathrm{C}$について，どちらか一方のみをもつ者は$\text{ケコ}$人である．

(2)　疾患$\mathrm{B}$をもつ者は$\text{サシ}$人である．

【１】[３]　次の表は，$25$問の問題からなるテストにおける$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{H}$の$8$人の正答数をまとめたものである．この$8$人の正答数の平均値は$16$であり，$x\leqq y$であるとする．

(1)　$x$のとり得る値の最小値は$\text{ス}$であり，最大値は$\text{セソ}$である．

(2)　$8$人の正答数の中央値が$15$であるとき，分散は$\text{タチ}.\text{ツ}$である．

【２】　$p$を実数の定数とする．$x$の$2$次関数$f(x)=x^2-(4p-6)x$$+7p^2$$-24p+18$について，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)　曲線$C$の頂点の座標は$(\text{ア}p-\text{イ},\text{ウ}{p}^2-\text{エオ}p+\text{カ})$である．

(2)　$x$の方程式$f(x)=0$が重解をもつときの$p$の値と重解$\alpha$の組は

$(p,\alpha )=(\text{キ},\text{クケ})\text{，}$$(\text{コ},\text{サ})$

である．

(3)　方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解をもつときの$p$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\text{シス}+\text{セ}\sqrt{\text{ソ}}}{\text{タ}}}<p<\text{チ}$

である．

(4)　方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもち，それらの差が最大となるとき，$p=\text{ツ}$で，そのときの実数解は$x=\text{テ}\pm \sqrt{\text{ト}}$である．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=2\sqrt{7}$であるとする．

(1)　$\cos \mathrm{\angle A}={\displaystyle \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}}$であるから，$\sin \mathrm{\angle A}={\displaystyle \frac{\text{エ}\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}$で，$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$と外接円の半径$R$は

$S={\displaystyle \frac{\text{キ}\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}\text{，}$$R={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$

である．

　また，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{AM}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{シス}}}{\text{セ}}}$である．

(2)　辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AD}=3\text{，}$$\mathrm{AE}=x$$\text{（}0<x<3\text{）}$となるようにとる．さらに，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{▵DBF}$と$\mathrm{▵ECF}$の面積が等しいとき，$x={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$であり，${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FD}}}={\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}$である．

【４】[１]　異なる$6$体の人形を異なる$4$つの箱に入れる．箱にはそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の文字が書かれており，$1$箱につき最大$3$体まで人形を入れることができる．

(1)　どの箱にも少なくとも$1$体の人形が入るものとする．$\mathrm{A}$の箱に$3$体の人形が入る入れ方は$\text{アイウ}$通りある．また，$\mathrm{A}$の箱に$2$体，$\mathrm{B}$の箱に$2$体の人形が入る入れ方は$\text{エオカ}$通りある．

(2)　人形が$1$体も入らない箱があってもよいものとする．$\mathrm{A}$の箱に$3$体の人形が入る入れ方は$\text{キクケ}$通りある．また，$\mathrm{A}$の箱に$2$体の人形が入る入れ方は$\text{コサシス}$通りある．

【４】[２]　$8$本の中に$3$本の当たりを含むくじがある．このくじを$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$の$8$人が，この順で$1$本ずつ引いていく．ただし，引いたくじは元に戻さないものとする．

(1)　$\mathrm{C}$が当たりくじを引く確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$である．また，$\mathrm{C}$が$3$本目に出る当たりくじを引く確率は${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チツ}}}$である．

(2)　$8$人それぞれについて$2$本目の当たりくじを引く確率を求めるとき，最も大きい確率は${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{トナ}}}$であり，その確率となる者は$\text{ニ}$人いる．