2022　青山学院大学　理工学部A方式MathJax

(1)　$X_1=2$のとき，$Y$が整数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}}$である．

(2)　$X_1=3$のとき，$Y$が整数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{3}}{\text{4}}}$である．

(3)　$X_1=4$のとき，$Y$が整数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{5}}{\text{6}\text{7}}}$である．

(4)　$Y$が整数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{8}\text{9}}{\text{10}\text{11}}}$である．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2\text{，}$$\mathrm{OC}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{BC}=4$

を満たすとする．また，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{OG}=\sqrt{2}$である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{\text{12}}{\text{13}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{\text{14}\text{15}}{\text{16}}}$

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であるのは$k=\text{17}\text{18}$のときである．

(3)　$t$を実数とする．$|t\overrightarrow{\mathrm{OA}}-2t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{19}\text{20}\text{21}}}{\text{22}}}$であり，そのときの$t$の値は${\displaystyle \frac{\text{23}\text{24}}{\text{25}}}$である．

$f(x)=\sqrt{4-2\cos x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

について，以下の問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_1^e}\log (xt)f(t)\mathit{dt}+x$

を満たすとき，以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^e}\log x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^2\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_1^e}x\log x\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$f(x)$を求めよ．

(1)　$C$と$l$が共有点をもつような$m$の値の範囲を求めよ．

　$m$の値が(1)で求めた範囲にあるとき，$C$と$l$の$2$つの共有点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，$l$が$C$に接するときは$\mathrm{P}=\mathrm{Q}=\mathrm{M}$とする．

(2)　点$\mathrm{M}$の座標を$m$を用いて表せ．

(3)　$m$が(1)で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{M}$の軌跡を求め，図示せよ．

(4)　原点から$C$に引いた$2$本の接線と(3)で求めた点$\mathrm{M}$の軌跡で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．