2022　青山学院大学　理工学部B方式MathJax

(1)　このような三角形は全部で$\text{1}\text{2}\text{3}$個ある．

(2)　直角三角形は全部で$\text{4}\text{5}$個ある．

(3)　二等辺三角形は全部で$\text{6}\text{7}$個ある．

(4)　直角三角形でも二等辺三角形でもないものは全部で$\text{8}\text{9}\text{10}$個ある．

$f(x)=x^2+2ax+b$

を考える．放物線$y=f(x)$の頂点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上にあるとする．

　また，関数$g(x)$を次の式で定義する．

$g(x)=f(f(x))$

(1)　$a$が実数全体を動くとき，$b$の最小値は${\displaystyle \frac{\text{11}\text{12}}{\text{13}}}$である．

(2)　$g(0)\leqq 0$となるような$a$の値の範囲は$\text{14}\leqq a\leqq \text{15}$である．

(3)　直線$y=x$と放物線$y=f(x)$の$2$つの共有点のうち，$\mathrm{P}$以外の点の$x$座標を$c$とすると，$a+c=\text{16}$である．

　また，$g^{\prime }(c)=\text{17}$である．

(1)　$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　$\theta =\mathrm{\angle AOB}$とするとき，$\sin \theta$を求めよ．

　さらに，点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を以下の条件を満たすようにとる．

・$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

・線分$\mathrm{CD}$の中点は$\mathrm{B}$

・$\mathrm{E}$は直線$\mathrm{AC}$上にあり，$\mathrm{ED}\perp \mathrm{OC}$

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{▵OCE}$の面積を求めよ．

$C\text{：}{x}^2+y^2=a^2+1$

と直線

$l\text{：}2x+y=-3a+1$

について，以下の問に答えよ．

(1)　$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$C$と$l$の共有点の座標を求めよ．

(2)　$C$と$l$が共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a$が整数のときを考える．$C$と$l$の共有点であって$x$座標と$y$座標がともに整数のものが存在するような整数$a$をすべて求めよ．また，求めた$a$に対して，$x$座標と$y$座標がともに整数であるような共有点をすべて書け．

$f(x)=\log (\sqrt{2}\cos x)$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について，以下の問に答えよ．

(1)　$0<a<1$とする．次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{1}{1-t^2}}\mathit{dt}$

(2)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け，凹凸は調べなくてよい．

(3)　曲線$y=f(x)$のうち，連立不等式$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ y\geqq 0\end{array}$の表す領域に含まれる部分の長さを求めよ．