2022　青山学院大学　社会情報学部B方式MathJax

(1)　放物線$C$上の点$\mathrm{P}$$(-2.3)$における法線$l_1$の方程式は，$y=\text{ア}x+\text{イ}$である．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線をいう．

(2)　放物線$C$上の点$\mathrm{Q}$における法線$l_2$が(1)の法線$l_1$と直交するとき，点$\mathrm{Q}$の座標は，$(\text{ウ},\text{エ})$である．

(3)　$l_1$と$l_2$の交点の座標は$(\text{オ},\text{カ})$である．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は，$\text{キ}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=k\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，$k=\text{ク}$である．

(3)　$\mathrm{▵OCD}$の面積は，$\text{ケ}$である．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$は最初，頂点$\mathrm{A}$にいる．

(ⅱ)　$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にいるとき，その$1$秒後に頂点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のどれかにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で移る．

(ⅲ)　$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，その$1$秒後に頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$のどれかにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で移る．

(ⅳ)　$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，その$1$秒後に頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$のどれかにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で移る．

(ⅴ)　$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にいるとき，その$1$秒後に頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$のどれかにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で移る．

　$n$秒後に，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にいる確率を，それぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n$とおく．このとき，上の規則より，$b_n=d_n$が成立している．

　次の問に答えよ．

(1)　$a_n+2b_n+c_n=\text{コ}$

(2)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=\text{サ}$である．

(3)　$b_n$を$n$を用いて表すと，$b_n=\text{シ}$である．

(4)　$c_n$を$n$を用いて表すと，$c_n=\text{ス}$である．

$C\text{：}y=x^2+tx+t^2$

を考える．

(1)　実数$t$が範囲$t\geqq 0$を動くとき，放物線$C$の頂点の軌跡を求め，図示せよ．

(2)　実数$t$が範囲$t\geqq 0$を動くとき，放物線$C$の通過する領域を求め，図示せよ．

$f(\theta )={\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta -4\cos \theta \sin \theta$

で定める．また，$x=\cos \theta +\sin \theta$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\theta$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\theta )$を$x$の式で表せ．

(3)　$\theta$が$0$から$2\pi$まで動くとき，関数$f(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．