2022　青山学院大学　社会情報学部C方式MathJax

(ⅰ)　$\mathrm{P}$は最初，原点にある．

(ⅱ)　コインを投げて表がでたら$\mathrm{P}$を正の方向に$2$動かし，裏が出たら正の方向に$1$動かす．

(ⅲ)　(ⅱ)の操作を繰り返す．

　$\mathrm{P}$が数直線上の座標$n$の点に滞在する確率を$p_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$p_1=\text{ア}\text{，}$$p_2=\text{イ}$である．

(2)　$\mathrm{P}$が$n+1$の点に滞在しない場合は，必ず$n$の点に滞在する．

　このことから，$1-p_{n+1}$を$p_n$を用いて表すと，$1-p_{n+1}=\text{ウ}$である．

(3)　$p_n$を$n$を用いて表すと，$p_n=\text{エ}$である．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\text{オ}$である．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+4\overrightarrow{\mathrm{BP}}+8\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

を満たす．このとき，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$として，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{q}=\text{カ}\overrightarrow{a}+\text{キ}\overrightarrow{b}+\text{ク}\overrightarrow{c}$である．

(2)　$\mathrm{▵QBC}$の面積は$\mathrm{▵ABC}$の面積の$\text{ケ}$倍である．

(3)　四面体$\mathrm{PQBC}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\text{コ}$倍である．

　時刻$t=0$において，$\mathrm{P}$の位置が$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$の位置が$(0,3,0)$で，速度ベクトルがともに$(0,0,3)$であるとき，次の問に答えよ．

(1)　時刻$t$における$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値，最小値を求めよ．

$f(x)=x^2+ax+b+c\log (1+x^2)$

は，$x=1$および$x=2$で極値をとり，さらに$x=1$での極値が$10\log 2$である．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減表をかけ，ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^4}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(n+k)}^3$

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{e}^{\frac{k}{2n}}$