2022　青山学院大学　経済学部B方式MathJax

【１】(1)　$10$から$50$までの自然数のうち，次のような数の和を求めよ．

1.　$4$の倍数の和は$\text{1}\text{2}\text{3}$である．

2.　$4$で割って$2$余る数の和は$\text{4}\text{5}\text{6}$である．

3.　$4$で割り切れない数の和は$\text{7}\text{8}\text{9}$である．

【１】(2)　$1$から$n$までの自然数が$1$つずつかかれた$n$枚のカードがある．この中から$1$枚のカードを抜いて，合計すると$25$であった．$n$は$\text{10}$であり，抜いたカードにかかれた数字は$\text{11}$である．

【１】(3)　$3374850$の正の約数の個数は$\text{12}\text{13}$であり，$100$未満の正の約数の総和は$\text{14}\text{15}\text{16}$である．

【１】(4)　$a$を正の定数とする．$a^{2x}=11$のとき，${\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}}$の値は${\displaystyle \frac{\text{17}\text{18}\text{19}}{\text{20}\text{21}}}$である．

【１】(5)　不等式$({\log }_{2}2x)({\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{4}{x}})\leqq 4$を解くと，${\displaystyle \frac{\text{22}}{\text{23}}}\leqq x\leqq \text{24}$である．

【１】(6)　半径$1$の円に内接する三角形について，次の問いに答えよ．

1.　$1$つの角の大きさが$120\mathrm{°}$のとき，$3$辺の長さの和の最大値は$\text{25}+\sqrt{\text{26}}$である．

2.　$3$辺の長さの和の最大値は$\text{27}\sqrt{\text{28}}$である．

【２】(1)　$-{\displaystyle \frac{11}{2}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{15}{2}}\pi$とする．

1.　関数$y=\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}$のグラフと関数$y=\cos {\displaystyle \frac{3}{2}}x$のグラフの共有点は$\text{29}\text{30}$個である．

2.　関数$y=\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}-\cos {\displaystyle \frac{3}{2}}x$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{31}\sqrt{\text{32}}}{\text{33}}}$であり，最小値は$-{\displaystyle \frac{\text{34}\sqrt{\text{35}}}{\text{36}}}$である．

【２】(2)　次の問いに答えよ．

1.　$4^{10}$を$3$で割った余りは$\text{37}$である．

2.　$8^{10}$を$7$で割った余りは$\text{38}$である．

3.　数列$x_n$を次のように定める．

$x_1=1\text{，}$$x_{n+1}=2^{x_n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　$x_{2021}$を$3$で割った余りは$\text{39}$である．また$x_{2022}$を$7$で割った余りは$\text{40}$である．

【２】(3)　$x\text{，}$$y$が不等式$x\geqq 1\text{，}$$y\geqq 1\text{，}$$3x+2y\leqq 12\text{，}$$ax+y\leqq 4$$\text{（}0\leqq a\leqq 0.9\text{）}$を同時に満たすとし，これらの連立不等式の表す領域を$S$とする．

1.　$S$の面積の最大値は$\text{41}$であり，最小値は${\displaystyle \frac{\text{42}\text{43}}{\text{44}\text{45}}}$である．

2.　$S$の面積が最大値をとるとき，$\sqrt{6}x+\sqrt{3}y$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{46}\text{47}\sqrt{\text{48}}+\text{49}\sqrt{\text{50}}}{\text{51}}}$であり，最小値は$\sqrt{3}+\sqrt{\text{52}}$である．

3.　$c\text{，}$$d$を正の定数とする．$S$の面積が最小値をとるとき，$cx-dy$は$x={\displaystyle \frac{\text{53}\text{54}}{\text{55}}}\text{，}$$y=\text{56}$で最大値をとり$x=\text{57}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\text{58}\text{59}}{\text{60}\text{61}}}$で最小値をとる．

【３】(1)　あるウイルスのPCR検査の感度は$70\mathrm{\%}\text{，}$特異度は$99\mathrm{\%}$である．ここで感度とは感染している人を陽性と判断する確率，特異度とは感染していない人を陰性と判断する確率のことである．ある地域でこのウイルスに感染している人の割合は$100$人に$1$人だとする．住民の$1$人がPCR検査を受けて陽性だったとき，この人がウイルスに感染している確率は$\text{62}\text{63}.\text{64}\mathrm{\%}$であり，陰性だったときウイルスに感染していない確率は$\text{65}\text{66}.\text{67}\mathrm{\%}$である．ただし，小数第$2$位を四捨五入して，小数第$1$位まで求めよ．

【３】(2)　$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{AB}$をかき，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$をかく．さらに繰り返し硬貨を投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{B}$をすでにかかれてある文字列の右側につなげてかいていく．

1.　$6$回硬貨を投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$6$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{68}\text{69}}{\text{70}\text{71}}}\text{，}$$\mathrm{B}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{72}\text{73}}{\text{74}\text{75}}}$である．

2.　$6$回硬貨を投げ，文字列を作るとき，文字列に含まれる$\mathrm{A}$の個数の期待値は$\text{76}\text{，}$$\mathrm{B}$の個数の期待値は$\text{77}$である．

【３】(3)　$n$人の生徒がいる部屋を考える．部屋にいる生徒たちが生まれた年はうるう年ではなく，部屋にいる生徒たちのそれぞれがどの日に生まれるかは同じ確率${\displaystyle \frac{1}{365}}$であるとする．また，$n$人のそれぞれについて，どの日に生まれるかは他の人がいつ生まれたのかといったことと独立であるとする．いま$\mathrm{A}$君をこの部屋にいない生徒とし，$\mathrm{A}$君が生まれた年はうるう年ではないとする．このとき，以下の問いに答えよ，

1.　この部屋から$1$人の生徒を選んだとき，$\mathrm{A}$君と同じ誕生日である確率は${\displaystyle \frac{\text{78}}{\text{79}\text{80}\text{81}}}$であり，この部屋から$2$人の生徒を選んだとき，$\mathrm{A}$君と同じ誕生日である確率は$1-{\left({\displaystyle \frac{\text{82}\text{83}\text{84}}{\text{85}\text{86}\text{87}}}\right)}^2$である．

2.　${\log }_{2}364=8.50779\text{，}$${\log }_{2}365=8.51175$とする．$n$人の生徒がいる部屋に，$\mathrm{A}$君と同じ誕生日の生徒がいる確率が$0.5$以上となる最小の人数$n$は$\text{88}\text{89}\text{90}$である．

【４】　全部の和が$1$となるような$n$個の正の数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$の$x_1$から$x_i$までの和を$X_i$で表す．また$X_0=0$とする．同様に全部の和が$1$となるような$n$個の正の数$y_1\text{，}$$y_2\text{，}\cdots \text{，}$$y_n$の$y_1$から$y_i$までの和を$Y_i$で表す．また$Y_0=0$とする．さらに

${\displaystyle \frac{y_1}{x_1}}\leqq {\displaystyle \frac{y_2}{x_2}}\leqq \cdots \leqq {\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}$$\cdots \text{①}$

が成立しているとする．このとき次の問いに答えよ．ただし

${\displaystyle \frac{Y_1}{X_1}}\leqq {\displaystyle \frac{Y_2}{X_2}}\leqq \cdots \leqq {\displaystyle \frac{Y_n}{X_n}}$$\cdots \text{②}$

であることは使ってもよい．

(1)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}(X_i+X_{i-1})x_i$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}(X_i+X_{i-1})y_i+{\displaystyle \sum _{i=1}^n}(Y_i+Y_{i-1})x_i$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}(X_i+X_{i-1})y_i\geqq {\displaystyle \sum _{i=1}^n}(Y_i+Y_{i-1})x_i$を証明せよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}(X_i+X_{i-1})y_i=1$ならば，すべての$i$について$x_i=y_i$である．これを証明せよ．