2022　学習院大学　文(コア)学部MathJax

$C_1\text{：}y=-x^2\text{，}$$C_2\text{：}y={(x-a)}^2+1$

の両方に接する直線が$2$つある．それらを$L_1\text{，}$$L_2$とする．

(1)　$L_1\text{，}$$L_2$のうち，傾きが正であるものの方程式を求めよ．

(2)　$L_1\text{，}$$L_2$が$C_2$と接する点を，それぞれ${\mathrm{P}}_1\text{．}$${\mathrm{P}}_2$とする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点の座標を$a$で表せ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　$3$辺の長さが$a\text{，}$$a+2\text{，}$$2a+1$である三角形が存在するような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$3$辺の長さが$a\text{，}$$a+2\text{，}$$2a+1$である三角形が存在し，それが鋭角三角形であるような$a$の範囲を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}(1,0,-1)$

がある．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と直交し，さらに$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の内積が$3$となるような点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(3)　(2)で定めた$\mathrm{D}$に対して，四面体$\mathrm{OABD}$の体積を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

$f(x)=x^4+3x^3+x^2-(a+3)x+a-2$

を考える．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフは，$a$の値によらず，平面上のある点を通る．その点の座標を求めよ．

(2)　等式$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を$m$とする．$m=2$となる$a$の範囲を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．