2022　学習院大学　理(コア),文(プラス)学部MathJax

【１】　面積$S$の平行四辺形$\mathrm{ABCD}$について

$S=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AD}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{\angle DAB}$は鋭角

が成り立っている．このとき，$0<t<1$を満たす実数$t$に対して，辺$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$の内積を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BD}$が直交するような$t$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BD}$が直交するとき，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．長さの比${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{BD}}}$を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　大小の$2$つのさいころを投げて，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．このとき，複素数$z$を

$z={(\sqrt{3}+i)}^a{(1-i)}^b$

と定める．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$\left|z\right|\leqq 8$となる確率を求めよ．

(2)　$z$の実部と虚部が両方とも正である確率を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\tan }^{2}x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\tan }^{3}x\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　$t$を正の実数とし，放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$上の点$\mathrm{P}$$(t,{\displaystyle \frac{t^2}{4}})$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の法線を$L$とする．

(1)　$L$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$L$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$t$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値と，最小値を与える$t$の値を求めよ．

(3)　$C$と$L$の$\mathrm{P}$以外の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における$C$の接線を，それぞれ$L_1\text{，}$$L_2$とする．$3$つの直線$L\text{，}$$L_1\text{，}$$L_2$で囲まれてできる三角形が二等辺三角形となるような$t$を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．