2022　学習院大学　法(コア)学部MathJax

【１】　大中小の$3$つのさいころを投げて，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(1)　積$abc$が$3$で割り切れない確率を求めよ．

(2)　積$abc$が$16$で割り切れる確率を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

【２】　$a$を実数として，関数

$f(x)=x^2+2(a-1)x-2a^2+2a$

を考え，$x$が$0\leqq x\leqq 1$の範囲を動くときの$f(x)$の最小値を$m$とする．$m=-3$となる$a$をすべて求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=5x^2+2x+1\text{，}$$C_2\text{：}y=2x^2-4x-4$

と，$C_1$上の点$\mathrm{P}$$(t,5t^2+2t+1)$がある．このとき，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$L$とし，$L$と$C_2$とで囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)　$L$の方程式を求めよ．

(2)　$S$を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$が$C_1$全体を動くとき，$S$の最小値と，最小値を与える$t$の値を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　平面上の$3$点

$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(3,0)\text{，}$$\mathrm{B}(3,4)$

のなす$\mathrm{▵OAB}$の内接円を$C_1$とする．

(1)　$C_1$の半径と，中心の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle AOB}=2\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\sin \alpha$を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の両方に接し$C_1$に外接する円を$C_2$とする．$C_2$の半径を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．