2022　学習院大学　理（プラス）学部MathJax

【１】　$a$を実数として，関数

$f(x)=x^2+2(a-5)x+a^2-11a+26$

を考える．

(1)　不等式$f(x)<0$を満たす実数$x$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

(2)　条件

$f(x)<0$かつ$x>a$

を満たす実数$x$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　連立不等式

$2x-y\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x^2+y^2\leqq 5$

が表す領域を$D$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$の最大値と，最大値を与える点の座標を求めよ．

(2)　次の条件を満たす実数$a$の範囲を求めよ．

条件：点$\mathrm{P}$$(x,y)$が$D$内を動くとき，点$\mathrm{A}$$(1,2)$において$ax+y$が最大値をとる．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　袋の中に白玉と赤玉が$3$個ずつ入っている．さいころを投げて，出た目と同じ個数の玉を袋から無作為に取り出す．

(1)　取り出した玉が白玉だけである確率を求めよ．

(2)　取り出した玉の中に白玉と赤玉の両方が入っている確率を求めよ．

(3)　取り出した玉がすべて白玉であったとき，出た目が$2$である確率を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

　また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

【４】　正の実数$a$に対して，

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^a}(x+{\displaystyle \frac{1-a}{2}})\sqrt[3]{a-x}\mathit{dx}$

とする．

(1)　$F(a)$を求めよ．

(2)　$a$が正の実数全体を動くとき，$F(a)$の最大値と，最大値を与えるの値を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．