2022　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　以下の$$に最もふさわしい数を求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(1)　${\log }_3\sqrt{6}-{\log }_3{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\log }_3\sqrt{2}$を有理数で表すと$\text{(ア)}$である．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数を求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(2)　$a$を正の実数，$p$を実数とする．$a^{2p}=3$のとき，${\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}}$の値は$\text{(イ)}$である．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数を求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(3)　関数$f(\theta )=\cos 2\theta +2\cos \theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で最小値をとるのは$\theta =\text{(ウ)}$のときであり，最大値をとるのは$\theta =\text{(エ)}$のときである．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数を求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(4)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の最小値が$2$以上となる確率は$\text{(オ)}$であり，最小値がちょうど$2$となる確率は$\text{(カ)}$である．また，出た目の最小値が$2$であったとき，どの$2$つの目も互いに素である条件付き確率は$\text{(キ)}$である．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数を求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(5)　$i$を虚数単位とし，$\alpha ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}i}{4}}$とする．このとき，$a\text{，}$$b$を実数とする$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$\alpha$であるならば，$a=\text{(ク)}\text{，}$$b=\text{(ケ)}$である．また，$f(x)=4x^4-3x^3+2x^2$とするとき，$f(\alpha )$の値は$\text{(コ)}$である．

【２】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．また，(3)は指示に従って解答しなさい．

(1)　円$x^2+y^2-2x+6y=0$を$C$とするとき，円$C$の中心の座標は$\text{(サ)}$であり，半径は$\text{(シ)}$である．また，円$C$と直線$y=3x-1$の$2$つの共有点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\text{(ス)}$であり，線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線の方程式は$y=\text{(セ)}$である．

【２】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．また，(3)は指示に従って解答しなさい．

(2)　$a_1=4\text{，}$$4a_{n+1}=2a_n+3$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{(ソ)}$である．また，${\displaystyle \sum _{n=1}^l}{a}_n\geqq 20$を満たす最小の自然数$l$は$\text{(タ)}$である．

【２】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．また，(3)は指示に従って解答しなさい．

(3)　次の$2$つの命題の証明をそれぞれ所定の解答欄に書きなさい．

(ⅰ)　整数$n$が$3$の倍数でないならば，$n^2$を$3$で割ったときの余りは$1$である．

(ⅱ)　$3$つの整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすならば，$x$と$y$の少なくとも一方は$3$の倍数である．

【３】　以下の$$に最もふさわしい数または式を求め，所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　ある学校で$100$点満点の数学のテストを行うことになった．まず$10$人の教員で解いてみたところ，その得点のヒストグラムは右のようになった．ただし，得点は整数値とする．

　このデータの平均値は$\text{(チ)}$点，中央値は$\text{(ツ)}$点，最頻値は$\text{(テ)}$点，分散は$\text{(ト)}$である．

(2)　$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組の$2$つのクラスで数学のテストを行ったところ，$\mathrm{A}$組の得点の平均値が$\overline{x_{\mathrm{A}}}\text{，}$分散が${s_{\mathrm{A}}}^2\text{，}$$\mathrm{B}$組の得点の平均値が$\overline{x_{\mathrm{B}}}\text{，}$分散が${s_{\mathrm{B}}}^2$となった．ただし，$\overline{x_{\mathrm{A}}}\text{，}$$\overline{x_{\mathrm{B}}}\text{，}$${s_{\mathrm{A}}}^2\text{，}$${s_{\mathrm{B}}}^2$はいずれも$0$ではなかった．このとき，$\mathrm{B}$組の各生徒の得点$x$に対して，正の実数$a$と実数$b$を用いて$y=ax+b$と変換し，$y$の平均値と分散を$\mathrm{A}$組の得点の平均値と分散に一致させるためには，$a=\text{(ナ)}\text{，}$$b=\text{(ニ)}$と設定すればよい．

【４】　以下の$$に最もふさわしい数または式を求め，所定の解答欄に記入しなさい．

　$a$を$1$以上の実数とし，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=1$および$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=a$を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．このとき$\cos \mathrm{\angle BAD}=\text{(ヌ)}$である．また，$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{E}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{EB}}=\text{(ネ)}$となるので，$\left|\overrightarrow{\mathrm{EB}}\right|=\text{(ノ)}$で，$\overrightarrow{\mathrm{EB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\text{(ハ)}$である．よって，$a=1$のとき$\cos \mathrm{\angle BEC}=\text{(ヒ)}$であり，$\mathrm{\angle BEC}=60\mathrm{°}$となるのは$a=\text{(フ)}$のときである．

【５】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．また，(1)は指示に従って解答しなさい．

　関数$f(x)$を

$f(x)=(x+1)(|x-1|-1)+2$

で定める．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　$k$を実数とする．このとき，方程式$f(x)=k$が異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は$\text{(ヘ)}$である．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(0,f(0))$における接線$l$の方程式は$y=\text{(ホ)}$である．また，曲線$y=f(x)$と直線$l$は$2$つの共有点をもつが，点$\mathrm{P}$とは異なる共有点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\text{(マ)}$である．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$l$で囲まれた図形の面積は$\text{(ミ)}$である．

(4)　関数$F(x)$を

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$

で定める．このとき，$F^{\prime }(x)=0$を満たす$x$をすべて求めると，$x=\text{(ム)}$である．これより，関数$F(x)$は$x=\text{(メ)}$で最小値$\text{(モ)}$をとることがわかる．