2022　東邦大学　医学部医学科MathJax

2022-13460-0201

2022　東邦大学　医学部医学科

1月26日実施

易□　並□　難□

【１】　座標平面上の楕円 $\frac{x^{2}}{104^{2}} + \frac{y^{2}}{40^{2}} = 1$ について， $2$ つの焦点の座標は $(アイ, 0)$ および $(- アイ, 0)$ であり，楕円上の点から $2$ つの焦点までの距離の和は $ウエオ$ である．

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【２】　座標平面上の $2$ つの放物線 $y = x^{2} + 3 x + 4 k + 3 ，$ $y = x^{2} - 2 k x - 3$ は共有点を $1$ つだけもつ．その共有点が $x$ 軸上の点であるとき，定数 $k$ の値は $k = \frac{カキ}{ク}$ であり，共有点の座標は $(ケコ, 0)$ である．

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【３】　 $0 ≦ x ≦ 1$ で定義された関数 $f (x)$ は， $f (x) = x \sqrt{1 - x} + x^{2} \int_{0}^{1} f (t) dt$ を満たす．このとき， $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} dx = \frac{サ}{シス}$ となるから， $\int_{0}^{1} f (t) dt = \frac{セ}{ソ}$ である．

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【４】　横一列に並べられた $5$ 枚のカードから任意に $2$ 枚のカードを選び，その $2$ 枚のカードを入れ替えるという操作を考える．今，左から順に青いカードを $2$ 枚，白いカードを $3$ 枚並べ，この操作を $n$ 回繰り返したときに左端が青いカードである確率を $P_{n}$ とする．このとき， $P_{1} = \frac{ア}{イウ}$ であり， $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots$ に対して $P_{n + 1} = \frac{エ}{オ} P_{n} + \frac{カ}{キ}$ が成り立つ．

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【５】　座標空間において， $P$ $(1, 0, 0) ，$ $Q$ $(0, 1, 0) ，$ $R$ $(0, 0, 1)$ を頂点とする $▵PQR$ の内接円を $C$ とする．このとき， $C$ の半径は $\frac{\sqrt{ク}}{ケ}$ である．また，原点を通る球面 $S$ があり， $S$ と平面 $PQR$ が交わってできる円が $C$ となるとき， $S$ の半径は $\frac{\sqrt{コ}}{サ}$ である．

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【６】　等差数列 $14 ， 11 ， 8 ， \dots ， - 19 ， - 22$ を考える．この数列から異なる $2$ つの項を選びとる方法は $シス$ 通りある．また，この数列から異なる $2$ つの項を選びとって積を作るとき，このようにしてできた $シス$ 個の積の和は $セソタ$ である．

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【７】　 $a$ を実数とし， $x$ の $3$ 次方程式 $2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (a - 1) x + a = 0$ の $3$ つの解に対応する複素数平面上の点を考える．この $3$ 点を頂点とする三角形が，直角三角形となるのは $a = \frac{アイ}{ウ}$ のときであり，正三角形となるのは $a = \frac{エ}{オ}$ のときである．

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【８】　 $▵ABC$ が $\frac{\sin A}{2} = \frac{\sin B}{3} = \frac{\sin C}{4}$ を満たすとき， $\cos A = \frac{カ}{キ}$ である．また， $▵ABC$ の外接円および内接円の半径をそれぞれ $R ，$ $r$ とすると， $\frac{r}{R} = \frac{ク}{ケコ}$ が成り立つ．

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【９】　 $2$ つの正の実数 $α ，$ $β$ が $3 α + β = \frac{π}{2}$ を満たすとき， $\tan (α + β)$ の値の範囲は $\tan (α + β) > \frac{\sqrt{サ}}{シ}$ であり， $5 \tan (α + β) + 4 \tan (α - β)$ のとり得る最小の値は $ス \sqrt{セ}$ である．

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【10】　 $e$ を自然対数の底とし，実数全体で定義された関数 $g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ の逆関数を $f (x)$ とする．このとき， $f^{'} (2) = \frac{\sqrt{ソ}}{タ}$ である．また， $f^{'} (x)$ の定義域に含まれるすべての実数 $y ，$ $z$ について，不等式 $| f^{'} (y) - f^{'} (z) | ≦ a | y - z |$ を成り立たせるような正の実数 $a$ で最小のものは $\frac{チ \sqrt{ツ}}{テ}$ である．