2022　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=-x^2-6x-7$の最大値は$\text{ア}$である．また，この関数のグラフを$x$軸方向に$\text{イ}\text{，}$$y$軸方向に$-\text{ウ}$だけ平行移動すると，関数$y=-x^2+2x$のグラフに重なる．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$2$次方程式$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，$\alpha +\beta =\text{エ}$であり，$\alpha \beta =\text{オ}$である．また，$2$数${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{\beta }}$を解とする$2$次方程式を$1$つ求めると$\text{カ}{x}^2-\text{キ}x+1=0$となる．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \beta \leqq \pi$で，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\text{，}$$\sin \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{5}}$のとき，$\cos 2\alpha$の値は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$であり，$\sin (\alpha +\beta )$の値は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$1$個のさいころを$4$回続けて投げたとき，すべて違う目が出る確率は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}}}$である．また，$1$の目と$2$の目がちょうど$1$回ずつ出る確率は${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}\text{ツ}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　曲線$C\text{：}y=x^2+x+b$が$2$点$\mathrm{A}$$(2,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,5)$を通るとき，$a=-\text{テ}\text{，}$$b=\text{ト}$である．点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l$とするとき，$C$と$l\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(6)　${\log }_{\sqrt{2}}12-2{\log }_{2}3$を計算すると$\text{ヌ}$であり，方程式${\displaystyle \frac{{\log }_{8}15}{{\log }_{2}3}}={\log }_{x}15$を解くと$x=\text{ネ}\text{ノ}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(7)　$k$を定数とする．直線$(k+1)x-2ky-4=0$は$k$の値に関係なく定点$(\text{ハ},\text{ヒ})$を通る．また，この直線が円$x^2+y^2=10$の接線になるときの$k$の値は${\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ヘ}}}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\text{ホ}}{\text{マ}}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$2S_n=4\times 3^n-a_n$をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ．

(3)　$a_n-3^n=b_n$とおくことで$\{a_n\}$の一般項を求めよ．