2022　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$x^{2022}$を$x^5-1$で割った余りは$\text{ア}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$x$に関する方程式$x^2+mx+m+15=0$の解がすべて整数となるような整数$m$は全部で$\text{イ}$個ある．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　数列$\{a_n)$が，

$a_1=1\text{，}$$a_n{a}_{n+1}+2a_n-4a_{n+1}=0$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．ここで，すべての$n$に対して$a_n\ne 0$であることを認めてよいものとする．$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくと，数列$\{b_n\}$の漸化式は$b_{n+1}=\text{ウ}$となるので，一般項$b_n$を求めることによって，一般項$a_n$は$\text{エ}$であることがわかる．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　直線$l\text{：}{\displaystyle \frac{x-1}{3}}={\displaystyle \frac{y}{2}}=z+1$と点$\mathrm{P}$$(1,1,-3)$がある．$\mathrm{P}$から$l$への垂線を$\mathrm{PH}$とすると，点$\mathrm{H}$の座標は$\text{オ}$である．また，$l$に対して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標は$\text{カ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　$4$人が一斉にじゃんけんをするとき，勝者が$1$人となる確率は$\text{キ}$であり，あいこ，すなわち，勝者が$0$人である確率は$\text{ク}$である．

【２】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

　平面上に点$\mathrm{A}$$(2,2)$と点$\mathrm{B}$$(4,0)$をとる．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．線分$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とし，さらに線分${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また，$t$が変化するときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$S$とする．

(ⅰ)　点${\mathrm{B}}^{\prime }$の座標を$t$を用いて表すと$\text{ケ}$である．点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表すと$\text{コ}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$として，軌跡$S$を$x\text{，}$$y$の方程式で表すと$y=\text{サ}$となる．

(ⅲ)　$S$上の点の$x$座標が取り得る値の範囲を$x$の不等式で表すと$\text{シ}$となり，$y$座標が取り得る値の範囲を$y$の不等式で表すと$\text{ス}$である．

(ⅳ)　$S$に接する直線の傾きを$k$とするとき，$k$の取り得る値の範囲を$k$の不等式で表すと$\text{セ}$である．

【３】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフを描け．

(ⅱ)　$3$次方程式$2x^3-3x^2-12x-a=0$が$3$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$$\text{（}\alpha \leqq \beta \leqq \gamma \text{）}$をもつような実数$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　$a$が(ⅱ)の範囲を動くとき，$\alpha$の最小値と$\gamma$の最大値をそれぞれ求めよ．

(ⅳ)　$a$が(ⅱ)の範囲を動くとき，$l\alpha |+|\beta |+|\gamma |$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$について，以下の問いに答えよ，ただし，$e$は自然対数の底である．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$\underset{x\to +\infty }{\mathrm{tim}}f(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅲ)　(ⅰ)，(ⅱ)より，$y=f(x)$のグラフを描け，

(ⅳ)　曲線$y=f(x)$と直線$x={\log }_{e}2$と$x$軸で囲まれる領域の面積を求めよ．