2022　東邦大学　理学部B英数択一MathJax

2022-13460-0601

2022　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(ⅰ)　関数 $f (x) = 1 - e^{- 2 x}$ に対し，曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸，および $2$ 直線 $x = 0 ，$ $x = 1$ で囲まれた部分の面積は $ア$ であり，この部分を $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積は $イ$ である．

2022-13460-0602

2022　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(ⅱ)　数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 0$ で， $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{π}{3}$ をみたすとする．数列 ${b_{n}} ，$ ${c_{n}}$ がそれぞれ $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots$ に対して

$b_{n} + c_{n} = a_{n}$

$b_{n} - c_{n} = a_{n + 1}$

をみたすとき， $\lim_{n \to \infty} \cos b_{n} \cos c_{n} = ウ$ であり， $\sum_{n = 1}^{\infty} \sin b_{n} \sin c_{n} = エ$ である．

2022-13460-0603

2022　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(ⅲ)　関数 $y = e^{x} + 1$ の逆関数は $y = オ$ であり，関数 $y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ の逆関数は $y = カ$ である．

2022-13460-0604

2022　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

【１】で配点35点

易□　並□　難□

【１】　次のに適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(ⅳ)　円 $x^{2} + y^{2} = 9$ を $y$ 軸をもとにして $x$ 軸方向に $2$ 倍に拡大した楕円に対し， $2$ つある焦点間の距離は $キ$ となる．

2022-13460-0605

2022　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

配点35点

易□　並□　難□

【２】　関数 $y = f (x) = \frac{1}{x}$ $（ x > 0 ）$ のグラフを曲線 $C$ とし， $x, y$ 平面上の点 $(x_{0}, y_{0})$ が $x_{0} > 0 ，$ $y_{0} > 0 ，$ $x_{0} y_{0} < 1$ を満たすとする．次のに適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　曲線 $C$ 上の点 $(a, \frac{1}{a})$ における接線の方程式は， $a$ を用いて $y = ク$ と表される．

(ⅱ)　曲線 $C$ の接線で点 $(x_{0}, y_{0})$ を通るものは $2$ つあり，それぞれの接点の $x$ 座標を $p ，$ $q$ （ただし $p < q ）$ とすると，次の値はそれぞれ $x_{0} ，$ $y_{0}$ を用いて，

$p q ＝ケ，$ $q - p = コ，$ $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = サ$

と表される．

(ⅲ)　 $t = \sqrt{1 - x_{0} y_{0}}$ とするとき， $t$ を用いて

$\int_{p}^{q} f (x) dx = シ$

と表される．よって，点 $(x_{0}, y_{0})$ を通る $2$ つの接線と曲線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S$ は， $t$ を用いて $S = ス$ と表される．

2022-13460-0606

2022　東邦大学　理学部B英数択一

物理，情報科学科

2月2日実施

配点30点

易□　並□　難□

【３】　 $z$ を複素数として $f (z) = \frac{z + 1}{z + 2}$ とする．ただし， $z \neq - 2$ とする．また， $i$ を虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $f (1 + i)$ の値を $a + b i$ $（ a ，$ $b$ は実数）の形で表せ．

(ⅱ)　複素数 $w$ に対して $f (z) = w$ を満たす複素数 $z$ が存在しないという． $w$ の値を求めよ．

(ⅲ)　 $z$ の虚部が $0$ より大きいとき， $f (z)$ の虚部も $0$ より大きいことを示せ．

(ⅳ)　複素数平面で， $z$ が原点を中心とする半径 $1$ の円周上を動くとき， $f (z)$ は点 $\frac{1}{3}$ を中心とする半径 $r$ の円周上を動く． $r$ の値を求め， $f (z)$ がその円周上を動くことを示せ．