2022　東邦大学　健康科学部看護学科A日程MathJax

【１】　$k$を実数の定数とする．$2$次方程式$2x^2+kx+k+6=0\cdots \text{(＊)}$について

(1)　(＊)が虚数解をもつような$k$の値の範囲は，$\text{アイ}<k<\text{ウエ}$である．

(2)　(＊)の$2$つの解の和と積が等しくなるのは，$k=\text{オカ}$のときである．このとき，(＊)の解は$x={\displaystyle \frac{\text{キ}\pm i\sqrt{\text{クケ}}}{\text{コ}}}$である．ただし，$i$は虚数単位を表す．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=8\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}$である．$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$\mathrm{BC}=\text{ア}$である．

(2)　$\mathrm{▵OBC}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{イウ}\sqrt{\text{エ}}}{\text{オカ}}}$である．

【３】　男子$4$人と女子$2$人が$1$列に並ぶ．

(1)　両端が男子であるような並び方は$\text{アイウ}$通りある．

(2)　女子$2$人が隣り合わないような並び方は$\text{エオカ}$通りある．

【４】(1)　$4$進法で表すと$3$桁になる自然数は$\text{アイ}$個ある．

(2)　$4$進法で表しても$5$進法で表しても$3$桁になる自然数は$\text{ウエ}$個ある．

(3)　$4$進法で表すと$4$桁になる最大の自然数を$8$進法で表すと${\text{オカキ}}_{(8)}$である．

【５】　$t$を正の実数とする．$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0.6)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,0)$がある．$\mathrm{\angle APB}=\theta$とおく．

(1)　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\text{ア}t}{t^{\text{イ}}+\text{ウエ}}}$である．

(2)　$\theta$が最大となるとき，$t=\text{オ}\sqrt{\text{カ}}$である．

【６】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　$6^{50}$は$\text{アイ}$桁の自然数である．

(2)　$n$を自然数とする．${\left({\displaystyle \frac{2}{9}}\right)}^n$を小数で表したとき，小数第$50$位に初めて$0$でない数字が現れるような$n$は$\text{ウエ}$である．

【７】　座標平面上に，$2$つの円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=4\text{，}$$C_2\text{：}{x}^2+y^2+6x-8y+a=0$がある．ただし$a$は実数の定数である．

(1)　$a$のとり得る値の範囲は，$a<\text{アイ}$である．

(2)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲は，$\text{ウエオ}<a<\text{カキ}$である．

(3)　$a=\text{ウエオ}$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式は$y={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}x-{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

【８】　$f(x)=x^3+3x^2-9x$とする．

(1)　$3$次方程式$f(x)=a$が異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$\text{アイ}<a<\text{ウエ}$である．

(2)　$3$次方程式$f(x)=\text{ウエ}$の実数解は$x=\text{オカ}\text{，}$$\text{キ}$である．

(3)　座標平面において，曲線$y=f(x)$と直線$y=\text{ウエ}$で囲まれた部分の面積は$\text{クケコ}$である．