2022　東邦大学　健康科学部看護学科B日程MathJax

【１】　$x^3+2x-1$が

$x^3+2x-1=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

と因数分解されている．このとき，

(1)　${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$の値は$\text{ア}\text{イ}$である．

(2)　${\alpha }^5$を$\alpha$の$2$次式で表すと${\alpha }^5=\text{ウ}{\alpha }^2+\text{エ}\alpha -2$となるから

(3)　${\alpha }^5+{\beta }^5+{\gamma }^5=\text{オカキ}$となる．

【２】　$x$の方程式

$x^4-b{x}^3+11x^2-bx+1=0$$\cdots \text{①}$

の解がすべて正の実数となる条件を考えたい．

(1)　$x$は正の実数とする．$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=a$とおくと，$a$は

$a\geqq \text{ア}$

の範囲の値をくまなく取る．

(2)　$x=0$は明らかに$\text{①}$の解ではないので，以下は$x^2\ne 0$のもとで考える．$\text{①}$の両辺を$x^2$で割って整理し$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$を用いてまとめると，$\text{①}$は次の$\text{②}$式になる．

$t^2-bt+\text{イ}=0$$\cdots \text{②}$

(3)　さて，方程式$\text{①}$の解がすべて正となるのは，$\text{②}$のすべての解が$t\geqq \text{ア}$となるときであるから，

$\text{ウ}\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{\text{エオ}}{\text{カ}}}$

が，$\text{①}$の解のすべてが正であるための必要十分条件である．

【３】　実数$x\text{，}$$y$に対して，次の式$z$の値を考える．

$z=-x^2-2xy-y^2-6x+2y+1$

(1)　$x$を一定にして$y$を動かしたときの$z$の最小値を$g(x)$とすると，$g(x)=-\text{ア}{x}^2-4x$となる．

(2)　(1)の$g(x)$において$x$を動かしたときの$g(x)$の最大値$A$は$A=\text{イ}$である．

(3)　$y$を一定にして$x$を動かしたときの$z$の最大値を$h(y)$とすると，

$h(y)=\text{ウ}{y}^2+\text{エ}y+10$

となる．

(4)　(3)の$h(y)$において$y$を動かしたときの$h(y)$の最小値$B$は$B=\text{オ}$である．

【４】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字を用いて整数をつくり，小さい順に並べて次のような数列を考える．

$1,$$2,$$3,$$11,$$12,$$13,$$21,$$22,$$23,$$31,$$32,$$33,$$111,$$112,\cdots$

(1)　この数列で$4$桁の数字は$\text{アイ}$個ある．

(2)　この数列の$100$番目の数は，$\text{ウエオカ}$である．

(3)　この数列の$\text{キクケ}$番目の数は$123123$である．

【５】　次の$3$次方程式(＊)について，以下の各問いに答えよ．

$x^3-3x+1=0$$\cdots \text{(＊)}$

(1)　$x=2\cos \theta$とおくと，(＊)は

$\text{ア}{\cos }^3\theta -6\cos \theta +1=0$$\cdots \text{①}$

となる．

(2)　一方，任意の角度$\theta$に対して

$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -\text{イ}\cos \theta$$\cdots \text{②}$

が成立しているので，$\text{②}$を用いて$\text{①}$を書きなおすと，

$\text{ウ}\cos 3\theta =-1$$\cdots \text{③}$

となる．

(3)　よって(＊)の$3$つの解を$x=r\cos \theta$$\text{（}r\text{：}$正，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}\text{）}$の形で表すと，$\text{③}$より

$x=\text{エ}\cos \text{オカ}\mathrm{°}\text{，}$$\text{エ}\cos \text{キク}\mathrm{°}\text{，}$$\text{エ}\cos \text{ケコサ}\mathrm{°}$

（ただし，$\text{オカ}<\text{キク}<\text{ケコサ}$とする．）

となる．

【６】　次の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)=2^{-kx}$において，$f(2)=3$であるとき

$f(3)=\text{ア}\sqrt{\text{イ}}$

【６】　次の各問いに答えよ．

(2)　次式の左辺を計算して簡単にすると

${\log }_{\frac{1}{4}}(\sqrt{3+\sqrt{8}}-\sqrt{3-\sqrt{8}})={\displaystyle \frac{\text{ウエ}}{\text{オ}}}$

【６】　次の各問いに答えよ．

(3)　$4^x-a\cdot 2^{x+1}+2=0$が実数解を持つのは

$a\geqq \sqrt{\text{カ}}$

の場合である．

【７】　$xy$平面上において，点$\mathrm{A}$$(2,-1)$を通り傾きが$m$の直線$l$と原点を中心とする半径$1$の円$C$がある．このとき，

(1)　直線$l$と円$C$が共有点を持つのは，${\displaystyle \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}}\leqq m\leqq 0$の場合であり，

(2)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$の範囲において$k={\displaystyle \frac{\sin \theta +1}{\cos \theta -2}}$の値は

${\displaystyle \frac{\text{エオ}}{\text{カ}}}\leqq k\leqq -1$

の範囲をくまなく取り得る．

(3)　点$\mathrm{A}$から$C$に引いた$2$つの接線の接点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とおくと直線$\mathrm{PQ}$の方程式は

$\text{キ}x-y=1$

となる．

【８】　次の$3$次関数$f(x)$について考える．

$f(x)=2x^3-3x^2-6x+2$

とする．$f(x)$は$x=\alpha \text{，}$$\beta$において極値をとるものとし，極大となる点を$\mathrm{A}$$(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}$極小となる点を$\mathrm{B}$$(\beta ,f(\beta ))$とおく．

(1)　$f(x)$を${\displaystyle \frac{1}{6}}{f}^{\prime }(x)$で割ったときの余りは$\text{アイ}x+\text{ウ}$であり，$f(\alpha )$の値を$\alpha$の$1$次式であらわすと

$f(\alpha )=\text{アイ}\alpha +\text{ウ}$

となる．また，直線$\mathrm{AB}$の方程式は

$\text{エ}x+y=1$

(2)　一方，

$f(\alpha )-f(\beta )={\displaystyle {\int }_{\beta }^{\alpha }}\text{オ}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}$$=\text{カ}{(\beta -\alpha )}^3$

となるので，極大値と極小値の差は

$f(\alpha )-f(\beta )=\text{キ}\sqrt{\text{ク}}$