2022　東邦大学　理学部C日程MathJax

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$f(x)=2^{3x+3}+21\cdot 4^x-3\cdot 2^{x+2}+2$とする．$t=2^x$とおき，$f(x)$を$t$の式で表すと$\text{ア}$である．$f(x)$は$x=\text{イ}$で最小値をとる．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$x$の整式$P(x)=x^3+a{x}^2+bx-2$を整式$Q(x)$で割ると商が$x+1\text{，}$余りが$x-1$である．また，$P(x)$を整式$R(x)$で割ると商が$x-1\text{，}$余りが$9x-b$である．このとき，$a=\text{ウ}\text{，}$$b=\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，関数$y=\sin 2x+3\cos 2x-4{\cos }^{2}x$について考える．$y$を$\sin 2x\text{，}$$\cos 2x$を用いて表すと$y=\text{オ}$である．また，$y$が最小値をとるのは$x=\text{カ}$のときである．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$2$個のさいころを同時に投げて，$1$個以上のさいころが奇数の目となる確率は$\text{キ}$である．

　$2$個のさいころを同時に投げる試行を$3$回続けて行うとき，少なくとも$1$回はさいころが$2$個とも偶数の目となる確率は$\text{ク}$である．

【２】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{ケ}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\text{コ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\text{サ}$である．

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさは$\text{シ}$である．

(ⅴ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta =\text{ス}$である．

(ⅴ)　頂点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{DE}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{P}$とすると，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$を$1:\text{セ}$に内分する．

【３】　次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ，

　等差数列$\{a_n\}$は初項から第$10$項までの和が$195\text{，}$初項から第$20$項までの和が$690$である．また，等差数列$\{b_n\}$は，$b_9=a_{14}\text{，}$$b_{15}=a_{22}$を満たす．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=\text{ソ}$である．

(ⅱ)　$65\leqq a_n\leqq 125$を満たす数列$\{a_n\}$の項の和は$\text{タ}$である．

(ⅲ)　数列$\{b_n\}$の一般項は，$b_n=\text{チ}$である．

(ⅳ)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$に共通して含まれる項を順に取り出して新しい数列$\{c_k\}$を作る．

(1)　数列$\{c_k\}$の初項は$\text{ツ}$であり，第$2$項は$\text{テ}$である．

(2)　数列$\{c_k\}$の第$10$項は数列$\{a_n\}$の第$\text{ト}$項と等しい．