2022　南山大　全学統一入試　2月7日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$m$は$0\geqq m\leqq 10$を満たす整数の定数とする．方程式$m{x}^2+2(m+4)x+18=0$が，実数解をもたないような$m$をすべて求めると$m=\text{ア}$であり，ただ$1$つの実数解をもつような$m$をすべて求めると$m=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$x\text{，}$$y$が$3$つの不等式$y\geqq -x+3\text{，}$$y\geqq x-1\text{，}$$y\leqq 2$を満たすとする．このとき，$2x+y$の最小値は$\text{ウ}$であり，$x^2-x+y^2$の最小値は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　方程式$e^{2x}-e^x-6=0$を解くと$x=\text{オ}$である．$a$を定数とするとき，$e^{2x}-e^x+a=0$が$2$つの異なる実数解をもつための$a$の範囲を求めると$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$10$人の高校$3$年生の男子生徒の体重のデータがあり，平均値を求めると$65\mathrm{kg}$で分散は$39$であった．その後，データに誤りがあることが分かり，$1$つのデータが$73\mathrm{kg}$とあったのが$83\mathrm{kg}$が正しいと修正された．正しいデータについて平均値を求めると$\text{キ}\mathrm{kg}$であり，分散も計算し直すと$\text{ク}$となる．

【２】　関数$f(x)=x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$を考える．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　$a$を正の定数とするとき，$x$についての方程式$f(x)=a$の実数解の個数を調べよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と直線$y=3$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　空間に$\mathrm{▵OAB}$があり，$\mathrm{OA}=10\text{，}$$\mathrm{\angle OBA}=90\mathrm{°}$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$$(0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}})$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$を通り，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の定める平面に垂直な直線上に，$\mathrm{OC}=5$となるように点$\mathrm{C}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$で表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$を$t$で表せ．

(3)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=36$であるとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，$\mathrm{▵OPB}$の面積$S$を$t$で表せ．

(5)　(3)のとき，$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする四面体$\mathrm{OPBC}$の体積$V$を$t$で表せ．さらに，$V^2=W$とおくとき，$W$の最大値を与える$t$の値を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$k$は実数の定数とする．$2$次方程式$x^2-2kx+k^2-2k-3=0$が正の解と負の解を$1$つずつもつとき$k$のとりうる値の範囲は$\text{ア}$であり，異なる$2$つの負の解をもつとき$k$のとりうる値の範囲は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　方程式${({\log }_{2}x)}^2+5{\log }_{2}x+6=0$を解くと$x=\text{ウ}$であり，方程式${\log }_3(x-3)={\log }_9(-4x+17)$を解くと$x=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$2$つの円$x^2+y^2-5=0\text{，}$$x^2+y^2-2x-6y+5=0$の$2$つの交点のうち第$1$象限にあるものの座標は$\text{オ}$である．これらの$2$つの交点と点$(1,3)$を通る円の中心の座標は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　袋に白球$4$個と黒球$8$個が入っている．袋から球を$1$個取り出して色を調べてから袋に戻し，戻した球と同じ色の球を$1$個袋に追加して，よくかき混ぜる．さらに，袋から球を$1$個取り出す．$2$回目に取り出した球が白球である確率は$\text{キ}$である．また，$2$回目に取り出した球が白球であるとき，$1$回目に取り出した球が白球である条件付き確率は$\text{ク}$である．

【２】　放物線$C_1\text{：}y=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$と円$C_2\text{：}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$を考える．$t>0$とし，$C_1$上の点$(t,t^2+{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線を$l$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$が$C_2$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　$l$が$C_2$と接するとき，$C_2$との接点の座標を求めよ．

(4)　$l$が$C_2$と接するとき，$C_1$と$l$と$y$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．