2022　南山大　経営，外国語学部2月9日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=13\text{，}$$\mathrm{BC}=17\text{，}$$\mathrm{CA}=5\sqrt{2}$のとき，$\cos \mathrm{\angle C}=\text{ア}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径を$r$とすると$r=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$a$を正の実数として，関数$f(x)=4x^2-8x+144$$\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$を考える．$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$f(x)$の最小値は$\text{ウ}$である．また，$f(x)$の最大値が$149$以上$204$以下となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　${(2x+y)}^7$の展開式における$x^3{y}^4$の項の係数は$\text{オ}$である．また，${21}^7$を$1000$で割った余りは$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　関数$f(x)={({\log }_{2}x)}^2-({\log }_{\sqrt{2}}x)-3$$\text{（}1\leqq x\leqq 8\text{）}$を考える．$f(x)$の最小値は$\text{キ}$であり，最大値は$\text{ク}$である．

【２】　$xy$平面上に，放物線$C\text{：}y=x^2-2x$と直線$l\text{：}y=ax$がある．ただし，$a>0$とする．$C$と$l$の交点のうち原点と異なる点を$\mathrm{P}$$(p,p^2-2p)$とする．また，原点における$C$の接線を$l_1\text{，}$$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l_2$とする．

(1)　$p$を$a$を用いて表せ．

(2)　$l_1$の方程式を求めよ．

(3)　$l_2$の方程式を$a$を用いて表せ．

(4)　$l_1$と$l_2$と$C$とで囲まれる部分の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．

(5)　$l_1$と$l_2$と$l$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とおくとき，$S_1:S_2=1:3$であることを示せ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$2$つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-8x-{\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}$$g(x)=x^2+k$を考える．ただし，$k$は実数とする．$xy$平面上で曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$が異なる$3$点で交わり，かつ，それらのうち$1$点の$x$座標は正で，残りの$2$点の$x$座標は負であるとき，$k$のとりうる値の範囲は$\text{オ}$である．また，${\displaystyle {\int }_{-1}^1}\{f(x)+g(x)\}\mathit{dx}=7$であるような$k$の値は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$1$から$1500$までの番号をつけた$1500$枚のカードから$1$枚を取り出す．取り出したカードの番号を$X$とする．$X$が$1500$の約数である確率は$\text{キ}$である．また，$X$が$1500$の約数であることがわかったとき，$X$が偶数である確率は$\text{ク}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　座標空間の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,-2,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,5,-4)$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とすると$\cos \theta =\text{ケ}$である．また，$\mathrm{O}$と$\mathrm{B}$を通る直線に，$\mathrm{A}$から垂線$\mathrm{AH}$を下ろしたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす実数$k$の値は$\text{コ}$である．

【３】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{S_n\}\text{，}$$\{T_n\}$がある$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$

$a_1=10\text{，}$$a_{n+1}=a_n-2$

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k{a}_{k+1}}{n}}$

$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{a}_{n-(k-1)}$

(1)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$\{S_n\}$の第$3$項の値を求めよ．

(3)　$S_n=120$をみたす$n$の値を求めよ．

(4)　$\{T_n\}$の第$3$項の値を求めよ．

(5)　$T_n=0$をみたす$n$の値をすべて求めよ．