2022　南山大　理工A2月10日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　不等式$|x-3|\leqq 2x$を解くと$\text{ア}$である．$a$を正の定数とするとき，不等式$|x+a|\leqq 2x$を解くと$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}$$(-3,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,2)$を$2$つの頂点とし，原点を重心とする$\mathrm{▵ABC}$の頂点$\mathrm{C}$の座標は$\text{ウ}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．方程式$\sqrt{3}{\sin }^2\theta$$+(\sqrt{3}-1)\sin \theta \cos \theta$$-{\cos }^2\theta =0$を考える．$\tan \theta =x$とおいて，この方程式を$x$の$2$次方程式に書き換えると$\text{オ}$である．また，不等式$\sqrt{3}{\sin }^2\theta$$+(\sqrt{3}-1)\sin \theta \cos \theta$$-{\cos }^2\theta <0$を満たす$\theta$の範囲は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$2$つの変量$x\text{，}$$y$のデータが，$n$個の$x\text{，}$$y$の値の組として

$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_n,y_n)$

で与えられているとする．$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$と$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_n$の平均値をそれぞれ$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}\text{，}$標準偏差をそれぞれ$s_x\text{，}$$s_y$とする．$x$と$y$の共分散と相関係数をそれぞれ$s_{xy}\text{，}$$r_{xy}$で表す．$s_{xy}$を$n\text{，}$$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_n\text{，}$$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$を用いて表すと$s_{xy}=\text{キ}$である．また，$r_{xy}={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}}$の関係がある．関係式$u=2x$によって変量$u$とその値$u_1\text{，}$$u_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$u_n$を定め，関係式$v=3y$によって変量$v$とその値$v_1\text{，}$$v_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$v_n$を定める．そのとき，$2$つの変量$u\text{，}$$v$のデータが，$n$個の$u\text{，}$$v$の値の組として

$(u_1,v_1)\text{，}$$(u_2,v_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(u_n,v_n)$

で与えられる．$u$と$v$の相関係数$r_{uv}$は$r_{xy}$の$\text{ク}$倍である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，円$S$に内接する四角形$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{A}$の座標は$(3,0,0)$である．点$\mathrm{C}$の座標は$(2,3,c)$$\text{（}c>0\text{）}$であり，$\mathrm{OC}=4$である．また，線分$\mathrm{OB}$は円$S$の直径である．

(1)　$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値と$\mathrm{\angle AOC}$の大きさをそれぞれ求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$$(0,-\sqrt{3},p)$を$\mathrm{OP}$が$\mathrm{OC}$と垂直になるように定めるとき，$p$の値を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$s\text{，}$$t$の値と$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．

【３】　$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}t{e}^t\mathit{dt}\text{，}$$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{(x-t)}^2{e}^t\mathit{dt}$

とする．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$を計算せよ．

(3)　導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(4)　$g(x)$を計算せよ．

(5)　$g(x)$は単調に増加（常に増加）することを示せ．