2022　南山大　経営,外国語学部2月11日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{CD}=\sqrt{2}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$とする．$O$の半径$R$を求めると，$R=\text{ア}$であり，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めると，$\mathrm{BD}=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$m$を実数として，$2$次方程式$2x^2-(m+1)x+8=0$が異なる$2$つの正の解をもつとき，$m$のとりうる値の範囲は$\text{ウ}$である．さらに，その$1$つの解が他の解の$2$倍であるとき，$m=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　方程式$4^{{\log }_{2}x}=8x^3$を解くと，$x=\text{オ}$である．また,方程式$x^{{\log }_{2}x}=8x^2$を解くと．$x=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(-3,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,6)$がある．$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OB}$と直交する直線の方程式は$y=\text{キ}$である．直線$\mathrm{OB}$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とすると，$\mathrm{▵OCB}$の外心の座標は$\text{ク}$である．

【２】　$xy$平面上の円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1$は点${\mathrm{T}}_1$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$において直線$l_1$と接し，また，点${\mathrm{T}}_2$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$において直線$l_2$と接する．

(1)　$l_1\text{，}$$l_2$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2+bx+c$$\text{（}a\ne 0\text{）}$は，${\mathrm{T}}_1$において$l_1$と接する．このとき，$b\text{，}$$c$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　(2)の$C_2$がさらに$l_2$とも接するとき，$a$の値および$C_2$と$l_2$の接点${\mathrm{T}}_3$の座標を求めよ．

(4)　(3)のとき，円弧${\mathrm{T}}_1{\mathrm{T}}_2$（点$(1,0)$を含む方）と$C_2$と$l_2$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$xy$平面上に，点$(2,2)$を中心とする半径$r$の円と原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2r$の円がある．$2$つの円が接するとき，$r=\text{キ}$である．また，$r=2$のとき，$2$つの円の$2$つの交点および$\mathrm{O}$の$3$点を頂点とする三角形の面積$S$を求めると，$S=\text{ク}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　$1$個のさいころを$1$回投げるごとにボールをもらう．出た目が$1$から$4$のいずれかであればボールを$2$個もらい，$5$か$6$の目であれば$1$個もらう．$1$個のさいころを$n$回投げるとき$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{），}$もらうボールの総数が偶数である確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表すと，$p_{n+1}=\text{ケ}$である．また，$p_n$を$n$の式で表すと，$p_n=\text{コ}$である．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$へ垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{PC}$上に$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PH}=\mathrm{HR}$となるように定める．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　辺$\mathrm{OC}$を$7:3$に内分するように点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{B}$を含む平面へ垂線$\mathrm{ON}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|}}$を求めよ．