2022　南山大　人文学部2月10日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$x^4$を$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$\text{ア}$であり，$n$が$2$以上の整数のとき$x^n$を$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$8\cdot 2^x+3^y+5\cdot 5^z=39\text{，}$$4\cdot 2^x+3^y+5^z=15$を満たす実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を考える．このとき，$2^x+5^z$の値は$2^x+5^z=\text{ウ}$であり，$2^x$のとりうる値の範囲は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$b$と$k$を定数とする．$x$についての$2$次方程式$3x^2+5xb+11x$$-2b^2+b$$+k=0$の判別式を$b$と$k$の式で表すと$\text{オ}$である．また，$3x^2+5xy+11x$$-2y^2$$+y+k$が$x\text{，}$$y$についての$2$つの$1$次式の積に因数分解できるとき，$k$の値を求めると$k=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$a$を定数とする．$0\leqq \theta <\pi$で，方程式$\sin \theta =a$が異なる$2$つの解をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$\text{キ}$である．また，$0\leqq \theta <\pi$で，方程式$4\sin \theta +3\cos \theta =a$が異なる$2$つの解をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$\text{ク}$である．

【２】　$a$を実数とし，$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=-x^2+2x-a$は共有点をもたないとする．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$C_1$上の点$(t,t^2)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　(2)の$l$が$C_2$に接するとき，$a$を$t$の式で表せ．

(4)　$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する直線は$2$つあることを示せ．

(5)　(4)の$2$つの直線が垂直であるとき，$a$の値を求めよ．