2022　南山大　法，国際教養2月12日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$x+y=2$および$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$を満たす$2$つの実数$x\text{，}$$y$を考える．$xy$のとりうる値の範囲は$\text{ア}$であり，$x^2{y}^2+x^2+y^2+xy$の最小値は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$x>-1$とする．このとき，$x+1+{\displaystyle \frac{4}{x+1}}$の最小値は$\text{ウ}$であり，${\displaystyle \frac{x+1}{x^2+x+4}}$の最大値は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{\angle A}=30\mathrm{°}$とし，$\mathrm{\angle B}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めると$S=\text{オ}$であり，$\mathrm{BD}$を求めると$\mathrm{BD}=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)$を全体集合とする．$a$は$2\text{，}$$4\text{，}$$6\text{，}$$8\text{，}$$10$のいずれかの整数とし，$U$の$2$つの部分集合$A=\{3,5,6\}\cup \{a\}\text{，}$$B=\{1,6,8,9,10\}$を考える．$a=4$のとき，$\bar{A}\cup B$を集合の要素を書き並べる方法で表すと$\bar{A}\cup B=\text{キ}$である．また，$\bar{A}\cap \bar{B}=\{2,4,7\}$となるとき，$a$の値を求めると$a=\text{ク}$である．

【２】　$1$次関数$f(x)$は$f(x)=x+{\displaystyle \frac{4}{5}}{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$を満たすとする．また，閃数$g(x)$は$g(x)=x^3-2x$とする．さらに，曲線$C\text{：}y=g(x)$上の点$(p,p^3-2p)$を$\mathrm{P}$とし，直線$y=f(x)$と$C$の共有点を$\mathrm{A}$$(x_1,y_1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(x_2,y_2)$（ただし$x_1<x_2\text{）}$とする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(4)　$p$が$x_1<p<x_2$の範囲を動くとき，$\mathrm{▵ABP}$の面積が最大となる$p$の値と最大値を求めよ．