2022　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$x$の整式$x^3+2a{x}^2+5x+b-2$を整式$P(x)$で割ると，商が$x+1$で，余りが$x-1$である．また，$P(x)$を$x+3$で割ると，余りは$3(b-a)$である．このとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めると$(a,b)=\text{ア}$であり，$P(x)=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$6^{12}$は$\text{ウ}$桁の整数である．また，$a=6^{12}$と自然数$b$に対して，$a{b}^5$が$26$桁の整数であるとき，$b$は$\text{エ}$桁の数でなければならない．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$xy$平面上に，中心が点$(1,1)$で半径が$\sqrt{2}$の円$C_1$と，$2$点$(2,0)\text{，}$$(m,m)$を直径の両端とする円$C_2$がある$\text{（}m$は正の実数）．$C_2$の半径が$\sqrt{5}$であるとき，$m=\text{オ}$である．また，$m=\text{オ}$のとき，$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$の$2$つの交点を通る直線の方程式は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$k$を実数とし，関数$f(\theta )={\displaystyle \frac{k\sin \theta }{2}}+\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$が$\theta ={\displaystyle \frac{5}{4}}\pi$で最小値をとるとする．このとき，$k=\text{キ}$であり，$f(\theta )$の最大値は$\text{ク}$である．

【２】　$xy$平面上に，放物線$C\text{：}y=-2x^2+2$と$2$点$\mathrm{A}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2a)$がある$\text{（}1<a<2\text{）．}$直線$\mathrm{AB}$と$C$の異なる$2$つの交点のうち，$\mathrm{A}$でないものを$\mathrm{P}$とする．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$C$と線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．$S_1$を$a$を用いて表せ．

(4)　$C$と線分$\mathrm{PB}$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_2$を$a$を用いて表せ．

(5)　$S_1$と$S_2$の和を$S$とする． $S$が最小となる$a$の値を求めよ．