2022　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

〔1〕　$0<a<1\text{，}$$0<x<1$とし，次の不等式を満たす$x$について考える．

$3{\log }_{x}a+{\log }_{a}ax<5$

　底を$a$とする対数で整理すれば，

$\text{ア}+{\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ア}}}-4<0$

である．ここで，${\log }_{a}x=t$とおいて，この不等式を$t$を用いて表すと

${\displaystyle \frac{{(\text{ウ})}^2-\text{エ}+3}{\text{ウ}}}<0$

と変形できる．ただし，$\text{ウ}$と$\text{エ}$は単項式とする．

　$t>0$よりこの不等式を解くと，

$\text{オ}<t<\text{カ}$

である．よって，$x$の範囲は，

$\text{キ}<x<\text{ク}$

となる．

【１】

〔2〕　$k$は定数とする．放物線$y=x^2-1$と直線$y=kx-3$が異なる$2$点で交わるとき，$k$のとり得る範囲は，$k>\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}>k$である．また，この放物線と直線が接するとき，接点の座標は，$(\text{サ},\text{シ})\text{，}$$(\text{ス},\text{セ})$である．ただし，$\text{サ}>\text{ス}$とする．

　次に，$y=x^2-1$上にない点$(a,b)$から$y=x^2-1$に接線を引くとする．このとき，接線を$2$本引くことができるための必要十分条件は$a$と$b$を用いて表すと，$\text{ソ}>1$であり，この$2$本の接線が垂直に交わるとき，$b=\text{タ}$である．

【１】

〔3〕　変量$x$と変量$y$からなるデータの組が下の表のように与えられている．ただし，$a$は正の定数とし，変量$x$は自然数で，$p<q$とする．

(a)　変量$x$の平均値が$32\text{，}$第$1$四分位数が$28\text{，}$第$3$四分位数が$36$のとき$p=\text{チ}\text{，}$$q=\text{ツ}$である．

　このとき，変量$x$の分散は$\text{テ}$であり，変量$x$から$z=3x-5$によって新たな変量$z$をつくると，$z$の標準偏差は$\text{ト}$である．

(b)　変量$y$の平均値と分散を$a$を用いて表すと，それぞれ$\text{ナ}\text{，}$$\text{ニ}$となる．

(c)　(a)，(b)より，変量$x$と変量$y$の相関係数の値は$\text{ヌ}$である．

【２】　ある海域における魚の生息量を一定の期間ごとに調査したとき，漁業をしない場合は生息量が毎期$1.6$倍になることが知られている．なお，量の単位はトンとする．

〔1〕　初期を第$1$期とし，第$n$期の初めの生息量を$F_n$で表すことにする（ただし，$n$は正の整数を表す）．この魚の増加する様子について$F_n$と$F_{n+1}$の関係は次式のようになる．

$F_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{5}}{F}_n$

　この関係式より，第$1$期の生息量を$F_1=80$としたとき，第$n$期の生息量$F_n$は数列$\{F_n\}$で表される．よって，この数列の一般項は次の式のようになる．

$F_n=80{\left({\displaystyle \frac{\text{ア}}{5}}\right)}^{\text{イ}}$$\cdots \text{①}$

〔２〕　次に，漁業をするときの第$n$期の初めの生息量を$G_n\text{，}$この魚の第$n$期の漁獲量$C_n$とすると，$G_n$と$C_n$の関係は，

$G_1=F_1=80\text{，}$$C_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{G}_n+10$

となる．

　この漁業は第$n$期初めに行われ，そのときの魚の生息量は$(G_n-C_n)$となる．次の第$n+1$期初めに生息量は$1.6$倍に増加する．この場合，$G_n$と$G_{n+1}$の関係を$C_n$を用いないで表すと，次式のようになる．

$G_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{5}}{G}_n-\text{エ}$

したがって，第$n$期初めの魚の生息量$G_n$を$n$の式として表すと，

$G_n=160{\left({\displaystyle \frac{\text{オ}}{5}}\right)}^{\text{カ}}-\text{キ}$$\cdots \text{②}$

となる．

　このまま漁業を続けて，第$x$期の初めの生息量$G_x$の値が$0$以下と予測される場合を絶滅と考える$\text{（}x$は正の整数）．$\text{②}$式から，$G_x\leqq 0$を整理し，両辺を$2$を底とする対数をとり，$x$について整理すると次式を得る．

$x\geqq 1+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{2}5-\text{ク}}}$

　ここで${\log }_{2}5=2.32$として計算すると，この不等式を満たす最小の$x$は$\text{ケ}$となり，第$\text{ケ}$期の絶滅が予測される．

〔3〕　この魚の絶滅防止対策として第$(\text{ケ}-1)$期より生息量が第$1$期の$80$以上に回復するまでの期間を完全禁漁とし$\text{（}n\geqq \text{ケ}-1$について$C_n=0\text{），}$最小の$y$を求める$\text{（}y$は正の整数）．そのためにまず$\text{②}$式から$G_{\text{ケ}-1}$を計算した値を$G_{\text{ケ}-1}=\text{コ}$とする．ただし，$\text{コ}$は小数第$1$位を四捨五入した値とする．

　次に，完全禁漁を実施し始めた第$(\text{ケ}-1)$期を新たに第$1$期目とする．このとき，第$m$期目の生息量を$H_m$（ただし，$m$は正の整数）で表すと，$\text{①}$式の考え方を応用することができ，数列$\{H_m\}$が得られ，初期値を$H_1=G_{\text{ケ}-1}=\text{コ}$とし，その一般項は，

$H_m=\text{コ}{\left({\displaystyle \frac{\text{ア}}{5}}\right)}^{\text{サ}}$$\cdots \text{③}$

となる．

　$y$期間完全禁漁であるので，$\text{③}$式に$m=y+1$を代入し，$H_{y+1}\geqq 80$を満たす$y$を求める．この不等式の両辺を，$2$を底とする対数をとり，$y$について整理すると，

$y\geqq {\displaystyle \frac{\text{シ}+{\log }_{2}5}{\text{ス}-{\log }_{2}5}}$$\cdots \text{④}$

が得られる．

　${\log }_{2}5=2.32$として計算すると，不等式$\text{④}$を満たす最小の$y$は$\text{セ}$となる．このことから，魚の生息量が$80$以上に最も早く回復するのは第$\text{ソ}$期となることがわかる．

【３】　$7$個の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$5$がある．次の問いに答えよ．

〔1〕　$7$個の数字を全部使って，$7$桁の整数をつくるとき，整数は何個できるか．

〔２〕　$7$個の数字から$5$個選び，それら全部を使って$5$桁の整数をつくるとき，次の整数は何個できるか．

(a)　各位の数字がすべて異なる整数

(b)　一の位が$5$である整数

(c)　$3$の倍数である整数

〔3〕　$7$個の数字から$2$個を選び，$2$桁の整数$N_1$をつくり，残りの$5$個から$5$桁の整数$N_2$をつくる．$N_2=N_1\times N_3$を満たす整数$N_3$を大きい順に並べたとき，第$1$番目，第$3$番目の$N_1$と$N_2$をそれぞれ求め，$(N_1,N_2)$の形で答えよ．