2022　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

〔1〕　$50$以下の自然数を全体集合とし，その部分集合で以下の$8$つの集合を考える．

$A=\{p|p\text{は素数}\}$

$B_k=\{q|q=7m+k\text{，}m\text{は整数}\}$

ただし，$k$は$0$以上$6$以下の整数とする．

　なお，集合$C$に対して，その要素の個数を$n(C)$で表すものとする．

(a)　$n(A)=\text{ア}$である．

(b)　$n(B_k)$が最大となる$k$は$\text{イ}$であり，$n(A\cup B_{\text{イ}})=\text{ウ}$となる．

(c)　$x\in B_3\text{，}$$y\in B_5$のとき，これらの積$x\times y$は$7$で割って$\text{エ}$余る数となる．また，$a\in A\text{，}$$x\in B_3$で，これらの積$a\times x$が$7$で割って$3$余るときの$a$の値は$\text{オ}$と$\text{カ}$である．

【１】

〔2〕　$a\text{，}$$b$を実数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx-6=0$$\cdots \text{①}$について，

(a)　$3$次方程式$\text{①}$が，$1+i$を解にもつとき，$a=\text{キ}\text{，}$$b=\text{ク}$である．

(b)　$3$次方程式$\text{①}$が，$-1$と$2$を解にもつとき，$a=\text{ケ}\text{，}$$b=\text{コ}$であり，残りの解は$x=\text{サ}$である．

(c)　$3$次方程式$\text{①}$が，$x=\text{サ}$を解にもつとき，$a$を用いて$b$を表し，$\text{①}$を整理すると，$(x+\text{シ})\{x^2+(\text{ス})x-\text{セ}\}=0$となる．ただし，$\text{シ}$は整数とする．

　$x=\text{サ}$以外の$2$つの解を$2$乗して加えると$4$になるとき，$a=\text{ソ}\text{，}$$b=\text{タ}$である．

【１】

〔3〕　$1$辺の長さが$4$である正三角形$\mathrm{ABC}$について，辺$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とすると，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{AQ}$の長さはともに$\text{チ}$で，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$の値は$\text{ツ}$である．

　したがって，$\sin \mathrm{\angle PAQ}=\text{テ}$となり，$\mathrm{▵APQ}$の外接円の半径は$\text{ト}$である．

　その外接円の中心を$\mathrm{O}$とすれば，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\text{ナ}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})$となる．

【２】　ある飲食店について，$1$日当たりの費用，売り上げ，価格，そしてこれらの変数で定まる利益を考える．ここでは，利益を除く変数はすべて正の値をとるとする．

　費用は，固定費用と可変費用の和からなる．固定費用は，来店客数と関係のない設備・家賃・従業員の人件費などの費用である．可変費用は，$1$日当たりの来店客数に比例する食材などの費用である．

　固定費用は$20000\text{，}$可変費用は来店客単位当たり$500\text{，}$$1$日当たりの来店客数を$x$$\text{（}x>0\text{）}$とすると，費用$y$は，

$y=20000+500x$$\cdots \text{①}$

となる．

〔1〕　提供される料理は$1$種類で，その価格を$z$とすると，来店客数$x$の式は，

$x=150-{\displaystyle \frac{1}{10}}z$$\cdots \text{②}$

と表される．費用$y$の式$\text{①}$に，この来店客数$x$の式$\text{②}$を代入すると，

$y=\text{ア}$

となる．売り上げ$R$は，$(\text{価格})\times (\text{来店客数})$とすると，$z$を用いて，

$R=\text{イ}$

と表される．利益$G$は，$(\text{売り上げ})-(\text{費用})$とすると，$z$を用いて，

$G=\text{ウ}{z}^2+\text{エ}z-\text{オ}$

と表される．この式より，$G$が最大となるときの価格は$\text{カ}$であり，このときの利益は$\text{キ}$である．また，来店客数は$\text{ク}$である．

〔2〕　次に来店客数が，$\alpha$$\text{（}\alpha \geqq 0\text{）}$だけ減少するときを考える．$\alpha$を価格に左右されない数とし，価格$z$と来店客数$x$の式は，

$x=150-\alpha -{\displaystyle \frac{1}{10}}z$

と表される．このときの利益$G_1$を〔1〕と同様に考えると，$G_1$は$z$と$\alpha$を用いて

$G_1=\text{ケ}{z}^2+(\text{コ})z+(\text{サ})$$\cdots \text{③}$

となる．$G_1$が最大となるときの価格$z_1$は，$\alpha$を用いて，

$z_1=\text{シ}$$\cdots \text{④}$

となる．$\text{シ}$より，$\alpha$が$0$から$10$に変化するとき，$G_1$が最大となるときの価格は$\text{ス}$下がる．

　$\text{④}$のとき，最大の利益$H$は，

$H=\text{セ}{\alpha }^2-\text{ソ}\alpha +\text{タ}$

となる．この式を用いると，$\alpha$が$0$から$10$に変化するとき，最大の利益は$\text{チ}$減少する．

【３】　図のような東西$6$本，南北$6$本の道がある．$\mathrm{A}$さんは$\mathrm{X}$地点を出発し最短経路を進み$\mathrm{Y}$地点に到着する．また，$\mathrm{P}$地点と$\mathrm{Q}$地点にはそれぞれ書店$\mathrm{P}$と書店$\mathrm{Q}$があり，その地点を通る場合は必ずその書店に立ち寄り，書店$\mathrm{P}$では確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で，書店$\mathrm{Q}$では確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で本を買うものとする．なお，$\mathrm{X}$地点から$\mathrm{Y}$地点への最短経路の選び方はすべて同様に確からしいとする．なお，$\mathrm{A}$さんは$\mathrm{X}$地点を出発するとき，本を持っておらず，途中で買った本は$\mathrm{Y}$地点まで持っていくと考える．次の問いに答えよ．

〔1〕　$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{P}$地点を通り$\mathrm{Y}$地点に到着する最短経路は何通りあるか．

〔2〕　$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{Q}$地点を通り書店$\mathrm{Q}$で本を買い，$\mathrm{Y}$地点に到着する確率を求めよ．

〔3〕　$\mathrm{Y}$地点に到着した$\mathrm{A}$さんが書店$\mathrm{P}\text{，}$書店$\mathrm{Q}$の少なくともどちらかの書店に立ち寄っていた確率を求めよ．

〔4〕(a)　$\mathrm{Y}$地点に到着した$\mathrm{A}$さんが本を持っている確率を求めよ．

(b)　$\mathrm{Y}$地点に到着した$\mathrm{A}$さんが本を持っていなかったとき，書店$\mathrm{P}$に立ち寄っていた確率を求めよ．