2022　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

$x^2{f}^{″}(x)+px{f}^{\prime }(x)=qf(x)$(＊)

がすべての$x>0$で成り立っているとする．このとき，$k$は$w$に関する$2$次方程式$\text{ア}=0$の解となる．ここで，$\text{ア}$は$w$について整理された最高次の係数が$1$である整式である．

　等式(＊)を満たす$k$が$1$つだけ存在するとするとき，$k\text{，}$$q$をそれぞれ$p$を用いて表すと，$q=\text{イ}\text{，}$$k=\text{ウ}$である．

　以後，等式(＊)を満たす$k$が$2$つ存在し，それらを$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし，$\alpha >\beta$である．

〔1〕　$\alpha +\beta =\text{エ}\text{，}$$\alpha -\beta =\text{オ}$である．また，$\alpha$と$\beta$の符号が互いに異なるための必要十分条件は$\text{カ}>0$である．ここで，$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}$はいずれも$\alpha \text{，}$$\beta$を用いない式である．

〔2〕　$\alpha$と$\beta$の符号が互いに異なるとする．$c$をある正の実数とするとき，$x\geqq 0$で定義された関数$g(x)$を

$x\geqq c$のとき$g(x)=c^{\alpha }{x}^{\beta }$

$0\leqq x<c$のとき$g(x)=c^{\beta }{x}^{\alpha }$

により定める．$0<s<c$に対して

$I(s)={\displaystyle {\int }_s^c}g(x)x^{-1-\alpha -\beta }\mathit{dx}$

とすると，$\underset{x\to +0}{\lim }I(s)=\text{キ}$となる．また，$c<t$を満たす実数$t$に対して

$J(t)={\displaystyle {\int }_c^t}g(x)x^{-1-\alpha -\beta }\mathit{dx}$

とすると，$\underset{t\to \infty }{\lim }J(t)=\text{ク}$となる．よって$\underset{s\to +0}{\lim }I(s)+\underset{t\to \infty }{\lim }J(t)$を$p$と$q$を用いて表すと，$\text{ケ}$となる．

（注：$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$は$\alpha$と$\beta$の式で答えよ．）

〔1〕　$k$を実数として，$f(x)=x^2+k$とする．このとき，$y=f(x)$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は，$\text{ア}\leqq k\leqq \text{イ}$である．$k=\text{ア}$のとき，共有点の個数は$\text{ウ}$であり，$k=\text{イ}$のとさ，共有点の個数は$\text{エ}$である．

〔2〕　$y=f(x)$と$C$の共有点の個数は最大$\text{オ}$個である．

〔3〕　$y=f(x)$と$C$が$3$点$(1,0)\text{，}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$を共有点にもつとする．ただし，$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす定数である．このとき，$f(x)$は$(x-1)$を因数にもつことから，

$f(x)=(x-1)g(x)$

と表すことができる．ただし，$g(x)$は$x$の$1$次式である．条件より，$g(\cos \theta )={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\sin \theta }}\text{，}$$g(\cos 2\theta )={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\sin \theta }}$である．また，$\cos \theta \ne \cos 2\theta$であるので，${\displaystyle \frac{\cos 3\theta -\cos \theta }{\cos 2\theta -\cos \theta }}={\displaystyle \frac{\text{ク}}{2\cos \theta +1}}$となる．ただし，$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$はいずれも$\cos \theta$に関する整式である．ここで，$y=g(x)$は，点$(\cos \theta ,g(\cos \theta ))$を通る直線であることから，この傾きを$a$とおくと，

図１

$g(x)=a(x-\cos \theta )+g(\cos \theta )$

と表すことができる．これより，$f(\cos 3\theta )$を$a$を含まない$\sin \theta$に関する整式$\text{ケ}$と表すことができる．

　特に$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$のとき，$y=f(x)$のグラフの概形は$\text{コ}$のようになる．

（注：解答欄$\text{コ}$に記載されている図１に，グラフの概形を$C$との共有点が分かるようにかけ．）

〔1〕　原点を$\mathrm{O}$とする複素数平面上の点$\mathrm{A}$を表す複素数を$z$とする．$\mathrm{A}$を実軸に関して対称移動した点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{B}$を表す複素数は$\text{ア}$である．また，$\mathrm{A}$を原点$\mathrm{O}$に関して対称移動した点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$を表す複素数は$\text{イ}$である．$\mathrm{A}$を虚軸に関して対称移動した点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{D}$を表す複素数は$\text{ウ}$である．ここで，複素数$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}\text{，}$$\text{ウ}$は$i$を含まない式である．

　原点$\mathrm{O}$と$\cos \theta +i\sin \theta$の表す点を通る直線を$l$とする．ただし$0\leqq \theta <\pi$とする．$\mathrm{A}$を直線$l$に関して対称移動した点を$\mathrm{<mspace\; width=".2em"></mspace>E}$とする．$\mathrm{E}$を表す複素数は，$z$を$\mathrm{O}$を中心に$-\theta$だけ回転させ，実軸に関して対称移動した後，$\mathrm{O}$を中心に$\theta$だけ回転したものであるから，$\bar{z}(\cos \text{エ}+i\sin \text{エ})$と表せる．特に$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，これは$\text{ウ}$と一致する．

〔2〕　$k\text{，}$$r$を正の実数とする．このとき，等式

$|z-ki|=r$

を満たす点$z$の描く図形を$R_1$とする．$R_1$を原点$\mathrm{O}$と$\cos {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$の表す点を通る直線に関して対称移動させたものを$R_2$とする．このとき，$R_2$上の点$z$は等式

$|z-\alpha |=r$

を満たす．ただし，複素数$\alpha$は$\text{オ}$である．ここで，$R_1$と$R_2$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をもつとする．このとき，$k\text{，}$$r$は条件${\displaystyle \frac{k}{r}}<\text{カ}$を満たし，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\text{キ}$である．

　また複素数$-k$が表す点を通り虚軸に平行な直線を考え，$R_1$をこの直線に関して対称に移動させたものを$R_3$とする．このとき，$R_3$上の点$z$は等式

$|z-\beta |=r$

を満たす．ただし，複素数$\beta$は$\text{ク}$である．$R_1$と$R_3$が共有点を持たないとき，$k\text{，}$$r$は条件${\displaystyle \frac{k}{r}}>\text{ケ}$を満たす．

　以下${\displaystyle \frac{k}{r}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}$が成り立つとする．複素数$ki$が表す点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{\angle PMQ}=\text{コ}$である．ただし，$0\leqq \text{コ}\leqq \pi$である．$R_1$で囲まれた部分と$R_2$で囲まれた部分の共通部分の面積は，$r$を用いて表すと$\text{サ}$である．

　$R_2\text{，}$$R_3$を虚軸に関して対称に移動させたものを${R^{\prime }}_2\text{，}$${R^{\prime }}_3$とする．$R_1\text{，}$$R_2\text{，}$$R_3\text{，}$${R^{\prime }}_2\text{，}$${R^{\prime }}_3$を結合し$1$つにした図形の外周によって囲まれた部分の面積を$r$を用いて表すと$\text{シ}$となる．

（注：$\text{サ}\text{，}$$\text{シ}$は$k$を含まない$r$の式である．）

〔1〕　$n=3$とする．

(a)　$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$X_3$がすべて異なる球の取り出し方は$\text{ア}$通りである．また，$X_1<X_2<X_3$となる球の取り出し方は$\text{イ}$通りである．

(b)　$X_1$を百の位の数，$X_2$を十の位の数，$X_3$を一の位の数にもつ$3$桁の整数を考えるとき，その$3$桁の数が$2$の倍数となるような球の取り出し方は$\text{ウ}$通りであり，$3$の倍数となるような球の取り出し方は$\text{エ}$通りである．

〔2〕　$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_n$を小さい順に並べ替えたものを$Y_1\text{，}$$Y_2\text{．}\cdots \text{，}$$Y_n$とする．定め方から，$Y_1\leqq Y_2\leqq \cdots \leqq Y_n$であることに注意せよ．

(a)　$Y_n\leqq n$となる確率は$\text{オ}$である．また，$Y_n\leqq 2n-1$となる確率は$\text{カ}$である．したがって，$\underset{n\to \infty }{\lim }\text{カ}=\text{キ}$である．

（注：必要であれば

$\underset{m\to \infty }{\lim }{(1-{\displaystyle \frac{1}{m}})}^m={\displaystyle \frac{1}{e}}$

であることを用いてよい．ここで，$e$は自然対数の底である．

(b)　$Y_{n-1}\leqq 2n-1$となる確率は$\text{ク}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }\text{ク}=\text{ケ}$である．